Номер 230, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

230. а) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами, равными 29 см, 25 см и 6 см.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 20 см, 15 см, 7 см.

а) Радиус вписанной в треугольник окружности $r$ можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр. Стороны треугольника равны $a=29$ см, $b=25$ см, $c=6$ см.
Сначала вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{29+25+6}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.
Далее, используя формулу Герона, найдем площадь треугольника $S$:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{30(30-29)(30-25)(30-6)} = \sqrt{30 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 24} = \sqrt{3600} = 60$ см².
Теперь можем найти радиус вписанной окружности:
$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{30} = 2$ см.
Ответ: 2 см.

б) Радиус описанной около треугольника окружности $R$ можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $S$ – его площадь. Стороны треугольника равны $a=20$ см, $b=15$ см, $c=7$ см.
Для вычисления радиуса нам понадобится площадь, которую мы найдем по формуле Герона. Сначала вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{20+15+7}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.
Теперь найдем площадь треугольника $S$:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-20)(21-15)(21-7)} = \sqrt{21 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 14} = \sqrt{1764} = 42$ см².
Наконец, вычислим радиус описанной окружности:
$R = \frac{abc}{4S} = \frac{20 \cdot 15 \cdot 7}{4 \cdot 42} = \frac{2100}{168} = 12,5$ см.
Ответ: 12,5 см.