Номер 236, страница 127 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

236. Используя теорему Птолемея, решите задачу: «Около равностороннего треугольника $ABC$ описана окружность, на дуге $BC$ взята точка $M$. Докажите, что $AM = BM + CM$».

Рассмотрим четырехугольник $ABMC$. Поскольку все его вершины $A$, $B$, $M$, $C$ лежат на окружности, этот четырехугольник является вписанным (циклическим). Это позволяет нам применить к нему теорему Птолемея.

Теорема Птолемея утверждает, что для любого вписанного четырехугольника произведение длин его диагоналей равно сумме произведений длин его противолежащих сторон. В нашем случае, для четырехугольника $ABMC$, диагоналями являются отрезки $AM$ и $BC$, а парами противолежащих сторон являются $AB$ и $MC$, а также $AC$ и $BM$.

Согласно теореме Птолемея, мы можем записать следующее равенство:

$AM \cdot BC = AB \cdot MC + AC \cdot BM$

Из условия задачи известно, что треугольник $ABC$ — равносторонний. Это значит, что все его стороны равны. Обозначим длину стороны этого треугольника через $a$. Таким образом, мы имеем:

$AB = BC = AC = a$

Теперь подставим эти равные значения в уравнение, полученное из теоремы Птолемея:

$AM \cdot a = a \cdot MC + a \cdot BM$

В правой части уравнения можно вынести общий множитель $a$ за скобки:

$AM \cdot a = a \cdot (MC + BM)$

Поскольку $a$ является длиной стороны треугольника, то $a \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $a$, не нарушая равенства:

$AM = MC + BM$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано с использованием теоремы Птолемея и свойства равностороннего треугольника.