Номер 234, страница 126 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

234. Двумя способами (алгебраическим и геометрическим) найдите площадь треугольника с медианами, равными 3 см, 4 см и 5 см.

Алгебраический способ

Для нахождения площади треугольника по трем его медианам $m_a, m_b, m_c$ существует специальная формула, которая является вариацией формулы Герона. Площадь искомого треугольника $S$ связана с площадью $S_m$ треугольника, построенного на его медианах, следующим соотношением:

$S = \frac{4}{3}S_m$

Площадь $S_m$ треугольника со сторонами, равными медианам, вычисляется по формуле Герона:

$S_m = \sqrt{p_m(p_m - m_a)(p_m - m_b)(p_m - m_c)}$

где $p_m$ — полупериметр треугольника, построенного на медианах.

По условию, длины медиан равны $m_a = 3$ см, $m_b = 4$ см, $m_c = 5$ см.

1. Найдем полупериметр $p_m$ "медианного" треугольника:

$p_m = \frac{m_a + m_b + m_c}{2} = \frac{3 + 4 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

2. Теперь вычислим площадь $S_m$ этого треугольника:

$S_m = \sqrt{6(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5)} = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$ см$^2$.

Стоит заметить, что стороны 3, 4, 5 образуют Пифагорову тройку ($3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$). Это означает, что треугольник, построенный на медианах, является прямоугольным. Его площадь можно было найти еще проще, как половину произведения катетов: $S_m = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см$^2$.

3. Наконец, найдем площадь искомого треугольника $S$:

$S = \frac{4}{3}S_m = \frac{4}{3} \cdot 6 = 4 \cdot 2 = 8$ см$^2$.

Ответ: 8 см$^2$.

Геометрический способ

Этот способ основан на свойстве медиан и площади треугольника. Рассмотрим треугольник $T_m$, стороны которого равны медианам данного треугольника: 3 см, 4 см и 5 см.

1. Определим вид треугольника $T_m$. Проверим выполнение теоремы Пифагора:

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$5^2 = 25$

Поскольку $3^2 + 4^2 = 5^2$, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $T_m$ является прямоугольным. Его катеты равны 3 см и 4 см.

2. Найдем площадь этого "медианного" треугольника $S_m$ как площадь прямоугольного треугольника:

$S_m = \frac{1}{2} \cdot (\text{катет}_1) \cdot (\text{катет}_2) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см$^2$.

3. Воспользуемся известной теоремой о соотношении площади треугольника и площади треугольника, построенного на его медианах. Площадь исходного треугольника ($S$) в $\frac{4}{3}$ раза больше площади треугольника, сторонами которого являются медианы ($S_m$).

$S = \frac{4}{3}S_m$

Геометрически это доказывается построением дополнительного треугольника, составленного из отрезков медиан длиной $\frac{2}{3}$ от каждой. Площадь такого треугольника равна $\frac{1}{3}$ площади исходного, и в то же время она составляет $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$ от площади "медианного" треугольника. Из равенства $\frac{1}{3}S = \frac{4}{9}S_m$ и следует искомая формула.

4. Вычислим площадь исходного треугольника:

$S = \frac{4}{3} \cdot 6 = 8$ см$^2$.

Ответ: 8 см$^2$.