Номер 240, страница 127 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

240. Углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Найдите сторону $a$ треугольника, если:

а) периметр треугольника равен $P$;

б) площадь треугольника равна $S$.

Пусть стороны треугольника, противолежащие углам $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, равны $a$, $b$ и $c$ соответственно. Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов.

Теорема синусов гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны между собой и равны диаметру описанной окружности ($2R$):

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

а)

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.

Используя теорему синусов, выразим стороны $b$ и $c$ через сторону $a$ и синусы углов:

Из $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$ следует, что $b = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha}$.

Из $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$ следует, что $c = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha}$.

Теперь подставим эти выражения для $b$ и $c$ в формулу периметра:

$P = a + \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha} + \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha}$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$P = a \left(1 + \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} + \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}\right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$P = a \left(\frac{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma}{\sin \alpha}\right)$

Наконец, выразим сторону $a$ из этого уравнения:

$a = \frac{P \sin \alpha}{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma}$

Ответ: $a = \frac{P \sin \alpha}{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma}$

б)

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле с использованием двух сторон и угла между ними. Например, $S = \frac{1}{2} b c \sin \alpha$.

Воспользуемся выражениями для сторон $b$ и $c$, которые мы получили в пункте а):

$b = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha}$ и $c = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha}$.

Подставим их в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{a \sin \beta}{\sin \alpha}\right) \left(\frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha}\right) \sin \alpha$

Упростим полученное выражение:

$S = \frac{1}{2} \frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{\sin^2 \alpha} \sin \alpha$

$S = \frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin \alpha}$

Из этого уравнения выразим $a^2$:

$a^2 = \frac{2 S \sin \alpha}{\sin \beta \sin \gamma}$

Чтобы найти $a$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (поскольку длина стороны — положительная величина):

$a = \sqrt{\frac{2 S \sin \alpha}{\sin \beta \sin \gamma}}$

Ответ: $a = \sqrt{\frac{2 S \sin \alpha}{\sin \beta \sin \gamma}}$