Номер 245, страница 127 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

245. При помощи циркуля и линейки постройте по данным отрезкам a и b отрезок x, если:

a) $x = \sqrt{a^2 + b^2 - ab};$

б) $x = \sqrt{a^2 + b^2 + ab}.$

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ и углом $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$, теорема косинусов гласит: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$. Отсюда, длина третьей стороны $c$ равна $c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma}$. Мы можем использовать это свойство для построения искомого отрезка $x$.

а)

Искомый отрезок задан формулой $x = \sqrt{a^2 + b^2 - ab}$.

Сравним это выражение с теоремой косинусов: $x^2 = a^2 + b^2 - ab$ и $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$.

Если мы построим треугольник, у которого две стороны равны данным отрезкам $a$ и $b$, то третья сторона будет равна $x$. Для этого нам нужно найти угол $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$. Приравнивая выражения, получаем:

$ab = 2ab \cos\gamma$

Отсюда $\cos\gamma = 1/2$. Угол, косинус которого равен $1/2$, — это $60^\circ$.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника со сторонами $a$, $b$ и углом $60^\circ$ между ними. Искомый отрезок $x$ будет третьей стороной этого треугольника.

Алгоритм построения:

1. С помощью линейки строим произвольный луч с началом в точке $O$.
2. С помощью циркуля откладываем на этом луче отрезок $OA$, равный данному отрезку $a$.
3. В точке $O$ строим угол, равный $60^\circ$. Для этого проводим окружность произвольного радиуса $r$ с центром в точке $O$. Пусть она пересекает луч $OA$ в точке $P$. Затем, не меняя раствора циркуля, проводим окружность с центром в точке $P$. Точка пересечения этих двух окружностей (назовем ее $Q$) образует с точками $O$ и $P$ равносторонний треугольник $OPQ$, следовательно, угол $\angle QOP = 60^\circ$.
4. Проводим второй луч $OQ$.
5. На луче $OQ$ откладываем с помощью циркуля отрезок $OB$, равный данному отрезку $b$.
6. Соединяем точки $A$ и $B$ с помощью линейки.

Полученный отрезок $AB$ является искомым отрезком $x$, так как по теореме косинусов в треугольнике $AOB$ его длина равна $\sqrt{OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(60^\circ)} = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab(1/2)} = \sqrt{a^2 + b^2 - ab}$.

Ответ: Отрезок $x$ является третьей стороной треугольника, две другие стороны которого равны $a$ и $b$, а угол между ними составляет $60^\circ$.

б)

Искомый отрезок задан формулой $x = \sqrt{a^2 + b^2 + ab}$.

Снова сравним это выражение с теоремой косинусов: $x^2 = a^2 + b^2 + ab$ и $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$.

Приравнивая выражения, получаем:

$-ab = 2ab \cos\gamma$

Отсюда $\cos\gamma = -1/2$. Угол, косинус которого равен $-1/2$, — это $120^\circ$.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника со сторонами $a$, $b$ и углом $120^\circ$ между ними.

Алгоритм построения:

1. С помощью линейки строим произвольный луч с началом в точке $O$.
2. С помощью циркуля откладываем на этом луче отрезок $OA$, равный данному отрезку $a$.
3. В точке $O$ строим угол, равный $120^\circ$. Угол $120^\circ$ является смежным с углом $60^\circ$ ($180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$). Сначала строим прямую, проходящую через точку $O$. Затем на одном из лучей, выходящих из $O$, строим угол $60^\circ$ (как в пункте а)). Угол, смежный с ним, будет равен $120^\circ$.
4. Проводим второй луч $OB'$ так, чтобы угол $\angle AOB'$ был равен $120^\circ$.
5. На луче $OB'$ откладываем с помощью циркуля отрезок $OB$, равный данному отрезку $b$.
6. Соединяем точки $A$ и $B$ с помощью линейки.

Полученный отрезок $AB$ является искомым отрезком $x$, так как по теореме косинусов в треугольнике $AOB$ его длина равна $\sqrt{OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(120^\circ)} = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab(-1/2)} = \sqrt{a^2 + b^2 + ab}$.

Ответ: Отрезок $x$ является третьей стороной треугольника, две другие стороны которого равны $a$ и $b$, а угол между ними составляет $120^\circ$.