Номер 4, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

4. Зная три стороны треугольника, найдите $S$, $h$ и $R$.

a) б) в)

а)

Дан треугольник со сторонами $a=13$, $b=15$, $c=14$.

Для нахождения площади $S$ воспользуемся формулой Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Полупериметр $p = \frac{13+15+14}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

Площадь $S = \sqrt{21(21-13)(21-15)(21-14)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 7} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$.

Высота $h$ проведена к стороне, равной 14. Найдем ее из формулы площади $S = \frac{1}{2}ch$.

$h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 84}{14} = \frac{168}{14} = 12$.

Радиус описанной окружности $R$ найдем по формуле $R = \frac{abc}{4S}$.

$R = \frac{13 \cdot 15 \cdot 14}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8} = 8.125$.

Ответ: $S=84$, $h=12$, $R = \frac{65}{8}$.

б)

Дан треугольник со сторонами $a=4$, $b=13$, $c=15$.

Для нахождения площади $S$ воспользуемся формулой Герона. Полупериметр $p = \frac{4+13+15}{2} = \frac{32}{2} = 16$.

Площадь $S = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} = 4 \cdot 6 = 24$.

Высота $h$ проведена к стороне, равной 4. Найдем ее из формулы площади $S = \frac{1}{2}ah$.

$h = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 24}{4} = \frac{48}{4} = 12$.

Радиус описанной окружности $R$ найдем по формуле $R = \frac{abc}{4S}$.

$R = \frac{4 \cdot 13 \cdot 15}{4 \cdot 24} = \frac{13 \cdot 15}{24} = \frac{13 \cdot 5}{8} = \frac{65}{8} = 8.125$.

Ответ: $S=24$, $h=12$, $R = \frac{65}{8}$.

в)

Дан треугольник со сторонами $a=17$, $b=10$, $c=9$.

Для нахождения площади $S$ воспользуемся формулой Герона. Полупериметр $p = \frac{17+10+9}{2} = \frac{36}{2} = 18$.

Площадь $S = \sqrt{18(18-17)(18-10)(18-9)} = \sqrt{18 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 9} = \sqrt{(2 \cdot 9) \cdot 8 \cdot 9} = \sqrt{16 \cdot 81} = 4 \cdot 9 = 36$.

Высота $h$ проведена к стороне, равной 9. Найдем ее из формулы площади $S = \frac{1}{2}ch$.

$h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 36}{9} = \frac{72}{9} = 8$.

Радиус описанной окружности $R$ найдем по формуле $R = \frac{abc}{4S}$.

$R = \frac{17 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 36} = \frac{17 \cdot 10 \cdot 9}{144} = \frac{17 \cdot 90}{144} = \frac{17 \cdot 5}{8} = \frac{85}{8} = 10.625$.

Ответ: $S=36$, $h=8$, $R = \frac{85}{8}$.