Тест 1, страница 134 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 1

На рисунке изображен правильный девятиугольник и его центр $O$. Найдите величину угла $\alpha$ и величину угла $\beta$.

a) $36^{\circ}$, $144^{\circ}$;

б) $40^{\circ}$, $120^{\circ}$;

в) $30^{\circ}$, $120^{\circ}$;

г) $40^{\circ}$, $140^{\circ}$.

На рисунке изображен правильный девятиугольник. Это означает, что все его 9 сторон и все 9 внутренних углов равны.

Нахождение величины угла α:

Угол α является центральным углом правильного девятиугольника. Центральный угол — это угол с вершиной в центре многоугольника O, стороны которого проходят через две соседние вершины многоугольника. Полный угол вокруг центра составляет $360^\circ$. Поскольку девятиугольник правильный, его можно разделить на 9 равных равнобедренных треугольников. Следовательно, все 9 центральных углов равны между собой.

Для нахождения величины одного центрального угла α, необходимо разделить $360^\circ$ на количество сторон (вершин) многоугольника, то есть на 9:

$α = \frac{360^\circ}{9} = 40^\circ$

Нахождение величины угла β:

Угол β является внутренним углом правильного девятиугольника. Его величину можно найти несколькими способами.

Способ 1: По формуле для внутреннего угла правильного многоугольника.

Величина внутреннего угла $β$ правильного n-угольника вычисляется по формуле:

$β = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$

В нашем случае $n=9$ (девятиугольник), поэтому:

$β = \frac{(9-2) \times 180^\circ}{9} = \frac{7 \times 180^\circ}{9} = 7 \times 20^\circ = 140^\circ$

Способ 2: Через равнобедренный треугольник.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами, проведенными к соседним вершинам, и стороной девятиугольника. Угол при вершине O этого треугольника — это найденный нами центральный угол $α = 40^\circ$. Два других угла (при основании треугольника) равны. Обозначим каждый из них как $γ$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

$α + 2γ = 180^\circ$

Подставим известное значение $α$:

$40^\circ + 2γ = 180^\circ$

$2γ = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$

$γ = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$

Внутренний угол правильного многоугольника $β$ состоит из двух таких углов $γ$, принадлежащих соседним равнобедренным треугольникам.

$β = 2γ = 2 \times 70^\circ = 140^\circ$

Оба способа дают одинаковый результат. Мы нашли, что $α = 40^\circ$ и $β = 140^\circ$. Сравнив с предложенными вариантами, мы видим, что наш результат совпадает с вариантом г).

Ответ: г) 40°, 140°.