Номер 252, страница 134 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

252. Внешний угол правильного $n$-угольника $A_1A_2A_3 \dots A_n$ равен $60^\circ$, периметр — $72$ см. Найдите $S_{A_1OA_2}$, где $O$ — центр $n$-угольника.

1. Найдем количество сторон n-угольника.
Внешний угол правильного n-угольника вычисляется по формуле $\alpha_{внеш} = \frac{360^\circ}{n}$.

По условию задачи, внешний угол равен $60^\circ$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти количество сторон $n$:

$60^\circ = \frac{360^\circ}{n}$
Отсюда получаем:

$n = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$
Следовательно, данный многоугольник является правильным шестиугольником.

2. Найдем длину стороны шестиугольника.
Периметр ($P$) правильного n-угольника вычисляется по формуле $P = n \cdot a$, где $a$ — длина одной стороны.

Из условия известно, что $P = 72$ см. Используя найденное значение $n=6$, мы можем найти длину стороны $a$:

$72 = 6 \cdot a$
$a = \frac{72}{6} = 12$ см.
Таким образом, длина каждой стороны шестиугольника, в том числе и $A_1A_2$, равна 12 см.

3. Найдем площадь треугольника $A_1OA_2$.
Точка $O$ является центром правильного шестиугольника. Треугольник $A_1OA_2$ образован двумя радиусами описанной окружности ($OA_1$ и $OA_2$) и стороной многоугольника ($A_1A_2$).
Центральный угол $\angle A_1OA_2$, соответствующий стороне правильного шестиугольника, равен:

$\angle A_1OA_2 = \frac{360^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$
Поскольку $OA_1 = OA_2$ (как радиусы), треугольник $A_1OA_2$ является равнобедренным. Так как угол при вершине $O$ в этом равнобедренном треугольнике равен $60^\circ$, то он является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны:

$OA_1 = OA_2 = A_1A_2 = a = 12$ см.
Площадь треугольника $A_1OA_2$ можно вычислить, используя формулу площади через две стороны и синус угла между ними:

$S_{A_1OA_2} = \frac{1}{2} \cdot OA_1 \cdot OA_2 \cdot \sin(\angle A_1OA_2)$
Подставим известные значения:

$S_{A_1OA_2} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \sin(60^\circ)$
Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S_{A_1OA_2} = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 72 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3}$ см$^2$.
Также можно было использовать формулу площади равностороннего треугольника со стороной $a=12$ см:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см$^2$.
Ответ: $36\sqrt{3}$ см$^2$.