Номер 257, страница 137 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

257. а) Найдите радиус окружности, вписанной в правильный четырехугольник со стороной, равной 8 см.

б) Найдите радиус окружности, описанной около правильного четырехугольника, периметр которого равен 32 см.

а) Правильный четырехугольник – это квадрат. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Пусть сторона квадрата равна $a$, а радиус вписанной окружности – $r$.

По условию, $a = 8$ см.

Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата, то есть $2r = a$.

Отсюда находим радиус:

$r = \frac{a}{2}$

Подставляем значение стороны:

$r = \frac{8}{2} = 4$ см.
Ответ: 4 см.

б) Правильный четырехугольник – это квадрат. Сначала найдем сторону квадрата, зная его периметр.

Периметр $P$ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $P = 4a$.

По условию, $P = 32$ см.

$4a = 32$

$a = \frac{32}{4} = 8$ см.

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали. Обозначим радиус описанной окружности как $R$, а диагональ как $d$.

Диагональ квадрата найдем по теореме Пифагора. Диагональ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катеты которого – стороны квадрата.

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Подставляем значение стороны $a = 8$ см:

$d = 8\sqrt{2}$ см.

Радиус описанной окружности равен:

$R = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Ответ: $4\sqrt{2}$ см.