Номер 255, страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

255. Дан правильный 12-угольник $A_1A_2A_3...A_{12}$.

Puc. 201

Найдите угол между прямыми:

а) $A_2A_7$ и $A_4A_{12}$;

б) $A_1A_3$ и $A_6A_{10}$.

(Для построения правильного 12-угольника схематически изобразите круглый циферблат часов, разбейте его окружность на 12 равных дуг, отметив точки, соответствующие 1 ч, 2 ч, 3 ч и т. д., и соедините соседние точки отрезками.)

Для решения задачи воспользуемся тем, что правильный 12-угольник вписан в окружность. Вершины многоугольника делят окружность на 12 равных дуг. Величина полной окружности составляет $360^\circ$, следовательно, величина дуги между двумя соседними вершинами (элементарная дуга) равна $360^\circ / 12 = 30^\circ$.

Величина дуги $\cup A_iA_j$ между вершинами $A_i$ и $A_j$ (где $i < j$) вычисляется как $(j-i) \times 30^\circ$.

а) A₂A₇ и A₄A₁₂

Прямые $A_2A_7$ и $A_4A_{12}$ являются хордами в окружности, описанной около 12-угольника. Определим, пересекаются ли эти хорды внутри окружности. Индексы вершин одной хорды (2, 7) и другой хорды (4, 12) чередуются ($2 < 4 < 7 < 12$), что означает, что хорды пересекаются внутри окружности.

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключенных между ними. В данном случае это дуги $\cup A_2A_4$ и $\cup A_7A_{12}$.

Найдем величины этих дуг:

Угловая величина дуги $\cup A_2A_4$ равна:

$$(4 - 2) \times 30^\circ = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$$

Угловая величина дуги $\cup A_7A_{12}$ равна:

$$(12 - 7) \times 30^\circ = 5 \times 30^\circ = 150^\circ$$

Теперь найдем один из углов $\alpha$ между хордами по формуле:

$$\alpha = \frac{1}{2} (\cup A_2A_4 + \cup A_7A_{12}) = \frac{1}{2} (60^\circ + 150^\circ) = \frac{1}{2} (210^\circ) = 105^\circ$$

Полученный угол $105^\circ$ является одним из углов между прямыми. Угол между прямыми по определению считается наименьшим из двух смежных углов, образованных при их пересечении. Второй угол равен $180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.

Наименьший угол равен $75^\circ$.

Ответ: $75^\circ$.

б) A₁A₃ и A₆A₁₀

Рассмотрим прямые $A_1A_3$ и $A_6A_{10}$. Это также хорды в описанной окружности. Чтобы найти угол между ними, можно проверить их на параллельность.

В правильном n-угольнике две хорды $A_iA_j$ и $A_kA_l$ параллельны тогда и только тогда, когда выполняется условие $i+j \equiv k+l \pmod{n}$. Это связано с тем, что ориентация хорды определяется направлением радиуса, перпендикулярного ей, а это направление связано с "средним" индексом вершин.

В нашем случае $n=12$. Проверим это условие для заданных хорд.

Для хорды $A_1A_3$:

$$i=1, j=3 \Rightarrow i+j = 1+3 = 4$$

Для хорды $A_6A_{10}$:

$$k=6, l=10 \Rightarrow k+l = 6+10 = 16$$

Теперь проверим, сравнимы ли эти суммы по модулю 12:

$$16 \pmod{12} = 4$$

Так как $4 \equiv 16 \pmod{12}$, условие параллельности выполняется.

Прямые $A_1A_3$ и $A_6A_{10}$ параллельны. Угол между параллельными прямыми равен $0^\circ$.

В качестве альтернативного доказательства можно заметить, что хорды параллельны, если дуги, заключенные между ними, равны. Это дуги $\cup A_3A_6$ и $\cup A_{10}A_1$.

Угловая величина дуги $\cup A_3A_6$ равна:

$$(6-3) \times 30^\circ = 3 \times 30^\circ = 90^\circ$$

Угловая величина дуги $\cup A_{10}A_1$ (проходящей через $A_{11}, A_{12}$) равна:

$$((12-10) + 1) \times 30^\circ = 3 \times 30^\circ = 90^\circ$$

Поскольку дуги между хордами равны, хорды параллельны.

Ответ: $0^\circ$.