Номер 261, страница 138 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

261. а) Выразите сторону $a$ правильного девятиугольника через радиус $R$ его описанной окружности.

б) Выразите радиус $r$ окружности, вписанной в правильный 18-угольник, через его сторону $a$.

а)

Для того чтобы выразить сторону $a$ правильного девятиугольника через радиус $R$ его описанной окружности, рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами, проведенными к соседним вершинам многоугольника, и стороной, соединяющей эти вершины.

Вершины этого треугольника — центр окружности $O$ и две соседние вершины девятиугольника, например $A$ и $B$. В треугольнике $AOB$ стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу описанной окружности $R$, а сторона $AB$ равна стороне девятиугольника $a$.

Центральный угол, опирающийся на сторону правильного n-угольника, равен $360^\circ/n$. Для девятиугольника ($n=9$) этот угол $\angle AOB$ составляет $360^\circ / 9 = 40^\circ$.

Проведем высоту $OH$ из центра $O$ на сторону $AB$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, она делит сторону $a$ на две равные части ($AH = a/2$) и центральный угол пополам ($\angle AOH = 40^\circ / 2 = 20^\circ$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$. В нем гипотенуза $OA = R$, а катет $AH = a/2$ лежит напротив угла $\angle AOH = 20^\circ$. Используя определение синуса угла, получаем:
$\sin(20^\circ) = \frac{AH}{OA} = \frac{a/2}{R}$.

Из этого выражения находим $a$:
$a/2 = R \sin(20^\circ)$
$a = 2R \sin(20^\circ)$.

Этот результат соответствует общей формуле для стороны правильного n-угольника: $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

Ответ: $a = 2R \sin(20^\circ)$.

б)

Для того чтобы выразить радиус $r$ окружности, вписанной в правильный 18-угольник, через его сторону $a$, рассмотрим треугольник, образованный центром многоугольника и одной из его сторон.

Пусть $O$ — центр многоугольника, а $AB$ — одна из его сторон ($AB=a$). Радиус вписанной окружности $r$ является апофемой, то есть перпендикуляром $OH$, опущенным из центра $O$ на сторону $AB$.

Высота $OH$ в равнобедренном треугольнике $AOB$ делит основание $AB$ пополам, так что $AH = a/2$. Также она делит пополам центральный угол $\angle AOB$.

Центральный угол для правильного 18-угольника ($n=18$) равен $360^\circ / 18 = 20^\circ$. Следовательно, угол $\angle AOH$ в прямоугольном треугольнике $AOH$ равен $20^\circ / 2 = 10^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AOH$ катеты равны $OH = r$ и $AH = a/2$. Угол, противолежащий катету $AH$, равен $\angle AOH = 10^\circ$. Используя определение тангенса угла, получаем:
$\tan(10^\circ) = \frac{AH}{OH} = \frac{a/2}{r}$.

Из этого выражения находим $r$:
$r = \frac{a/2}{\tan(10^\circ)} = \frac{a}{2\tan(10^\circ)}$.

Поскольку котангенс является обратной функцией к тангенсу ($\cot x = 1/\tan x$), ответ можно также записать в виде $r = \frac{a}{2}\cot(10^\circ)$.

Ответ: $r = \frac{a}{2\tan(10^\circ)}$.