Номер 258, страница 138 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

258. Дан правильный шестиугольник с периметром, равным 30 см. Найдите радиус описанной и радиус вписанной окружностей этого шестиугольника.

Периметр правильного шестиугольника $P$ равен 30 см. Поскольку у правильного шестиугольника 6 равных сторон, мы можем найти длину одной стороны $a$.

$a = \frac{P}{6} = \frac{30}{6} = 5$ см.

Радиус описанной окружности

Радиус $R$ описанной окружности для правильного шестиугольника равен длине его стороны $a$. Это свойство объясняется тем, что правильный шестиугольник можно разделить на 6 равносторонних треугольников с вершинами в центре окружности. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому радиус, идущий к вершине, равен стороне шестиугольника.

$R = a = 5$ см.

Ответ: 5 см.

Радиус вписанной окружности

Радиус $r$ вписанной окружности для правильного шестиугольника является его апофемой, то есть высотой одного из равносторонних треугольников, на которые он разбит. Высоту равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, радиус вписанной окружности $r$ равен:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставив значение $a = 5$ см, получаем:

$r = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ см.