Номер 260, страница 138 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

260. Дан правильный пятиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5$ с центром $O$ и стороной $a = 20$ (рис. 206).

Найдите угол $\beta$ и выразите радиусы его описанной и вписанной окружностей через $a$ и $\beta$.

Рис. 206

Найдите угол β

Дан правильный пятиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5$ с центром $O$. Все его стороны равны, и все центральные углы, опирающиеся на эти стороны, также равны. Полная окружность составляет $360^\circ$. Так как у пятиугольника 5 сторон, центральный угол, опирающийся на одну сторону (например, $A_1A_5$), равен:
$∠A_1OA_5 = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$.

Треугольник $ΔOA_1A_5$ является равнобедренным, поскольку стороны $OA_1$ и $OA_5$ являются радиусами описанной окружности ($OA_1 = OA_5 = R$). В равнобедренном треугольнике высота $OH$, проведенная к основанию $A_1A_5$, является также биссектрисой угла $∠A_1OA_5$.

Угол $β$, показанный на рисунке, — это угол $∠A_1OH$. Он равен половине центрального угла:
$β = \frac{1}{2} ∠A_1OA_5 = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$.

Ответ: $β = 36^\circ$.

Выразите радиусы его описанной и вписанной окружностей через a и β

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔOHA_1$, образованный радиусом описанной окружности $OA_1$, радиусом вписанной окружности $OH$ и половиной стороны пятиугольника $A_1H$.
• $OA_1$ — гипотенуза, равная радиусу описанной окружности ($R$).
• $OH$ — катет, равный радиусу вписанной окружности ($r$).
• $A_1H$ — катет, равный половине стороны $a$. Поскольку высота $OH$ в равнобедренном треугольнике $ΔOA_1A_5$ является и медианой, $A_1H = \frac{a}{2}$.
• $∠A_1OH = β$.

Применим тригонометрические функции для этого треугольника.

Радиус описанной окружности (R):
Синус угла $β$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(β) = \frac{A_1H}{OA_1} = \frac{a/2}{R}$.
Выразим отсюда $R$:
$R = \frac{a/2}{\sin(β)} = \frac{a}{2\sin(β)}$.

Радиус вписанной окружности (r):
Тангенс угла $β$ — это отношение противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(β) = \frac{A_1H}{OH} = \frac{a/2}{r}$.
Выразим отсюда $r$:
$r = \frac{a/2}{\tan(β)} = \frac{a}{2\tan(β)}$.

Ответ: Радиус описанной окружности $R = \frac{a}{2\sin(β)}$, радиус вписанной окружности $r = \frac{a}{2\tan(β)}$.