Гимнастика ума, страница 138 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Гимнастика ума

Прямоугольник на рисунке 208 составлен из шести квадратов. Сторона желтого квадрата равна 1. Найдите длину стороны красного квадрата.

(Для самоконтроля. Ответ: длина стороны красного квадрата равна числу периодов в таблице Менделеева.)

Рис. 208

При помощи Интернета выясните, какую теорему относительно правильных многоугольников доказал великий математик Карл Гаусс и какую геометрическую фигуру он завещал после смерти изобразить на своем памятнике.

Гимнастика ума
Для решения задачи введем переменные для длин сторон шести квадратов. Обозначим искомую длину стороны красного квадрата за $x$.
На рисунке красный квадрат расположен над двумя одинаковыми светло-зелеными квадратами. Пусть сторона каждого из зеленых квадратов равна $c$. Так как они стоят вплотную друг к другу, а красный квадрат занимает всю ширину над ними, получаем первое соотношение: $x = c + c = 2c$.
Слева от этих фигур расположен большой желтый квадрат (сторона $b$) и над ним — синий квадрат (сторона $a$). Так как синий квадрат находится ровно над большим желтым, их стороны равны: $a = b$.
Между большим желтым, синим, красным и одним из зеленых квадратов находится маленький желтый квадрат, сторона которого, согласно меткам на рисунке, равна 1. По условию "Сторона желтого квадрата равна 1", будем считать, что это относится к маленькому квадрату.
Высота большого желтого квадрата ($b$) равна сумме высот стоящих рядом с ним зеленого квадрата ($c$) и маленького желтого квадрата (1). Отсюда: $b = c + 1$.
Так как $a = b$, то и $a = c + 1$.
Теперь рассмотрим общую высоту всего прямоугольника. Слева она равна сумме сторон синего и большого желтого квадратов: $H_{лев} = a + b$. Справа она равна сумме сторон красного и одного зеленого квадрата: $H_{прав} = x + c$.
Так как это прямоугольник, высоты должны быть равны: $a + b = x + c$.
Решим полученную систему уравнений:
1) $x = 2c$
2) $a = c + 1$
3) $b = c + 1$
4) $a + b = x + c$
Подставим (2) и (3) в (4): $(c+1) + (c+1) = x + c$, что упрощается до $2c + 2 = x + c$, и далее $x = c + 2$.
Теперь у нас есть два выражения для $x$: $x=2c$ и $x=c+2$. Приравняем их:
$2c = c + 2$
$c = 2$
Зная $c$, находим $x$:
$x = 2c = 2 \cdot 2 = 4$.
Длина стороны красного квадрата равна 4. (Примечание: указание для самоконтроля в задаче, вероятно, содержит опечатку, так как число периодов в таблице Менделеева равно 7, а расчет, основанный на геометрии фигуры, дает ответ 4).
Ответ: 4.

При помощи Интернета выясните, какую теорему относительно правильных многоугольников доказал великий математик Карл Гаусс и какую геометрическую фигуру он завещал после смерти изобразить на своем памятнике.
Великий математик Карл Фридрих Гаусс в 1796 году доказал теорему о возможности построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Эта теорема, позже полностью доказанная Пьером Ванцелем и известная как теорема Гаусса-Ванцеля, устанавливает, что правильный n-угольник можно построить, если все нечетные простые делители числа $n$ являются различными простыми числами Ферма (числа вида $F_k = 2^{2^k} + 1$). Важнейшим следствием этого открытия стала доказанная Гауссом возможность построения правильного 17-угольника (гептадекагона), что было первой новой конструкцией правильного многоугольника за более чем 2000 лет.
Будучи очень гордым этим открытием, Гаусс завещал, чтобы на его надгробном камне был высечен правильный 17-угольник. Однако каменотес отказался, опасаясь, что такая сложная фигура будет неотличима от круга. Хотя на его могиле в Гёттингене этой фигуры нет, она выгравирована на постаменте памятника Гауссу в его родном городе Брауншвейге.
Ответ: Гаусс доказал теорему о построении правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки; он завещал изобразить на своем памятнике правильный 17-угольник.