Номер 268, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

268. Найдите площадь правильного шестиугольника ABCDEF (рис. 216), если площадь треугольника ABD равна $60 \text{ см}^2$.

Рис. 216

Правильный шестиугольник $ABCDEF$ можно представить состоящим из шести равных равносторонних треугольников с общей вершиной в центре $O$ шестиугольника ($\Delta OAB, \Delta OBC$ и т.д.). Пусть площадь одного такого треугольника равна $S_0$. Тогда площадь всего шестиугольника $S_{ABCDEF}$ будет равна $6 \cdot S_0$.

Рассмотрим треугольник $ABD$, площадь которого нам известна. Эту площадь можно найти, сложив площади двух треугольников: $\Delta OAB$ и $\Delta OBD$. Таким образом, $S_{ABD} = S_{OAB} + S_{OBD}$.

Площадь $\Delta OAB$ равна $S_0$, так как это один из шести равносторонних треугольников, составляющих шестиугольник.

Теперь найдем площадь $\Delta OBD$. Стороны $OB$ и $OD$ равны стороне шестиугольника, которую мы можем обозначить как $a$. Угол между ними, $\angle BOD$, является суммой углов $\angle BOC$ и $\angle COD$. Поскольку $\Delta OBC$ и $\Delta OCD$ являются равносторонними, каждый из этих углов равен $60^\circ$.

$\angle BOD = \angle BOC + \angle COD = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Площадь $\Delta OBD$ найдем по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{OBD} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OD \cdot \sin(\angle BOD) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2}a^2\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Эта формула совпадает с формулой площади равностороннего треугольника со стороной $a$, то есть $S_{OBD} = S_0$.

Таким образом, площадь треугольника $ABD$ равна сумме площадей двух таких равносторонних треугольников:

$S_{ABD} = S_{OAB} + S_{OBD} = S_0 + S_0 = 2S_0$.

По условию задачи $S_{ABD} = 60 \text{ см}^2$. Следовательно, $2S_0 = 60 \text{ см}^2$, откуда мы находим площадь одного малого треугольника:

$S_0 = \frac{60}{2} = 30 \text{ см}^2$.

Площадь всего правильного шестиугольника равна:

$S_{ABCDEF} = 6 \cdot S_0 = 6 \cdot 30 = 180 \text{ см}^2$.

Ответ: 180 см².