Номер 273, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

273. Придумайте алгоритм построения при помощи циркуля и линейки квадрата по отрезку, равному сумме стороны квадрата и его диагонали.

Пусть $a$ — сторона искомого квадрата, а $d$ — его диагональ. По условию, дан отрезок $S$, длина которого равна $S = a + d$. В любом квадрате диагональ связана со стороной соотношением, которое следует из теоремы Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $d = a\sqrt{2}$.

Подставим это выражение для $d$ в формулу для $S$:

$S = a + a\sqrt{2} = a(1 + \sqrt{2})$

Чтобы найти сторону $a$, выразим ее через известную длину $S$:

$a = \frac{S}{1 + \sqrt{2}}$

Для удобства построения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:

$a = \frac{S(\sqrt{2} - 1)}{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)} = \frac{S(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = S\sqrt{2} - S$.

Это выражение $a = S\sqrt{2} - S$ подсказывает алгоритм построения. Величина $S\sqrt{2}$ — это длина гипотенузы в прямоугольном равнобедренном треугольнике с катетами $S$. Таким образом, чтобы найти отрезок $a$, нужно построить такой треугольник и из длины его гипотенузы вычесть длину катета.

Детальный алгоритм построения:

1. Пусть дан отрезок длиной $S$. На произвольной прямой отложим отрезок $AB$, равный $S$.
2. В точке $A$ с помощью циркуля и линейки построим прямую, перпендикулярную прямой $AB$.
3. На этой перпендикулярной прямой отложим отрезок $AC$, равный $AB$. Мы получили прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$ с катетами $AB = AC = S$.
4. Соединим точки $B$ и $C$. Длина гипотенузы $BC$ равна $\sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{S^2 + S^2} = S\sqrt{2}$.
5. На гипотенузе $BC$ отложим от точки $B$ отрезок $BD$, равный катету $AB$ (длиной $S$). Для этого проведем дугу с центром в $B$ и радиусом $AB$.
6. Отрезок $DC$ на гипотенузе и будет стороной искомого квадрата. Его длина равна $BC - BD = S\sqrt{2} - S = a$.
7. Имея отрезок $DC$, равный стороне $a$, строим на нем квадрат $DCEF$ стандартным методом (построение перпендикуляра в одной из его конечных точек, откладывание отрезков равной длины и т.д.).

Докажем, что построенный квадрат является искомым. Сторона построенного квадрата равна $a = S\sqrt{2} - S$. Его диагональ будет равна $d_{new} = a\sqrt{2} = (S\sqrt{2} - S)\sqrt{2} = 2S - S\sqrt{2}$. Сумма стороны и диагонали построенного квадрата составляет: $a + d_{new} = (S\sqrt{2} - S) + (2S - S\sqrt{2}) = S$. Эта сумма равна длине исходного отрезка, что и требовалось.

Ответ:

1. На данном отрезке длиной $S$ как на катете построить прямоугольный равнобедренный треугольник.
2. На гипотенузе этого треугольника (имеющей длину $S\sqrt{2}$) отложить отрезок, равный катету $S$.
3. Оставшаяся часть гипотенузы является стороной $a$ искомого квадрата (ее длина равна $a = S\sqrt{2} - S$).
4. На полученном отрезке $a$ построить квадрат стандартным методом при помощи циркуля и линейки.