Номер 272, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

272. Найдите площадь правильного треугольника, если дан:

а) радиус $R$ его описанной окружности;

б) радиус $r$ его вписанной окружности.

а) Пусть $a$ — сторона правильного треугольника, а $R$ — радиус его описанной окружности. Связь между стороной и радиусом описанной окружности для правильного треугольника выражается формулой:

$a = R\sqrt{3}$.

Площадь правильного треугольника $S$ со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Теперь подставим выражение для стороны $a$ через радиус $R$ в формулу площади:

$S = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{R^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$.
Ответ: $S = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$.

б) Пусть $a$ — сторона правильного треугольника, а $r$ — радиус его вписанной окружности. Связь между стороной и радиусом вписанной окружности для правильного треугольника выражается формулой:

$a = 2r\sqrt{3}$.

Площадь правильного треугольника $S$ со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Теперь подставим выражение для стороны $a$ через радиус $r$ в формулу площади:

$S = \frac{(2r\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4r^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 3r^2\sqrt{3}$.
Ответ: $S = 3r^2\sqrt{3}$.