Номер 271, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

271. а) В правильный треугольник $ABC$ со стороной, равной 6, вписан квадрат $MNPK$ (рис. 217). Найдите длину стороны квадрата.

б) На рисунке 218 изображены правильный треугольник $ABC$ и правильный четырехугольник $EDFC$. Найдите длину стороны $AB$ треугольника, если $FC = 3$.

Puc. 217

Puc. 218

а) Пусть сторона квадрата $MNPK$ равна $x$. Тогда $MN = PK = MK = x$.

Поскольку треугольник $ABC$ правильный, все его углы равны $60°$. В частности, $\angle A = \angle C = 60°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $PKC$. В нем катет $PK$ перпендикулярен стороне $AC$, на которой лежит катет $KC$. Следовательно, $\angle PKC = 90°$.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Для угла $C$ в треугольнике $PKC$ имеем:

$\tan(\angle C) = \frac{PK}{KC}$

Подставим известные значения: $\tan(60°) = \frac{x}{KC}$.

Поскольку $\tan(60°) = \sqrt{3}$, получаем: $\sqrt{3} = \frac{x}{KC}$, откуда $KC = \frac{x}{\sqrt{3}}$.

Аналогично, рассматривая прямоугольный треугольник $AMN$, можно показать, что $AM = \frac{x}{\sqrt{3}}$.

Сторона $AC$ треугольника $ABC$ состоит из трех отрезков: $AM$, $MK$ и $KC$.

$AC = AM + MK + KC$

Подставим длины отрезков в это равенство, зная, что по условию $AC=6$:

$6 = \frac{x}{\sqrt{3}} + x + \frac{x}{\sqrt{3}}$

$6 = x + \frac{2x}{\sqrt{3}}$

Вынесем $x$ за скобки:

$6 = x \left(1 + \frac{2}{\sqrt{3}}\right)$

$6 = x \left(\frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3}}\right)$

Выразим $x$:

$x = \frac{6\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 - \sqrt{3})$:

$x = \frac{6\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{12\sqrt{3} - 6 \cdot 3}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{12\sqrt{3} - 18}{4 - 3} = 12\sqrt{3} - 18$

Ответ: $12\sqrt{3} - 18$.

б) Пусть сторона правильного треугольника $ABC$ равна $a$. То есть, $AB = BC = AC = a$.

Поскольку $EDFC$ — правильный четырехугольник (квадрат) со стороной $FC=3$, то все его стороны равны 3: $ED = DF = FC = CE = 3$.

Точка $E$ лежит на стороне $AC$. Следовательно, отрезок $AC$ состоит из отрезков $AE$ и $EC$.

$AC = AE + EC$

$a = AE + 3$, откуда $AE = a - 3$.

Так как $EDFC$ — квадрат, и его сторона $EC$ лежит на прямой $AC$, то сторона $ED$ перпендикулярна $AC$. Таким образом, треугольник $ADE$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AED = 90°$.

В правильном треугольнике $ABC$ угол $\angle A = 60°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADE$. Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $DE$ к прилежащему катету $AE$.

$\tan(\angle A) = \frac{DE}{AE}$

Подставим известные значения и выражения:

$\tan(60°) = \frac{3}{a - 3}$

Зная, что $\tan(60°) = \sqrt{3}$, получаем уравнение:

$\sqrt{3} = \frac{3}{a - 3}$

Решим это уравнение относительно $a$:

$\sqrt{3}(a - 3) = 3$

$a - 3 = \frac{3}{\sqrt{3}}$

$a - 3 = \sqrt{3}$

$a = 3 + \sqrt{3}$

Таким образом, длина стороны $AB$ равна $3 + \sqrt{3}$.

Ответ: $3 + \sqrt{3}$.