Номер 269, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

269. Дан правильный шестиугольник $A_1A_2A_3...A_6$.

а) Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника, и радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник, если $A_2A_4 = 4\sqrt{3}$ см.

б) Докажите, что расстояние между прямыми $A_2A_3$ и $A_6A_5$ равно длине диагонали $A_2A_4$.

а)

Пусть $a$ — сторона правильного шестиугольника $A_1A_2...A_6$, $R$ — радиус описанной окружности, а $r$ — радиус вписанной окружности. Для правильного шестиугольника сторона равна радиусу описанной окружности, то есть $a = R$.

Рассмотрим диагональ $A_2A_4$. Она соединяет вершины через одну. Длину этой диагонали можно найти, рассмотрев треугольник $ΔA_2A_3A_4$. В этом треугольнике стороны $A_2A_3 = a$ и $A_3A_4 = a$, а угол между ними $\angle A_2A_3A_4$ является внутренним углом правильного шестиугольника и равен $120^\circ$.

Применим теорему косинусов для треугольника $ΔA_2A_3A_4$:

$(A_2A_4)^2 = (A_2A_3)^2 + (A_3A_4)^2 - 2(A_2A_3)(A_3A_4)\cos(\angle A_2A_3A_4)$

$(A_2A_4)^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = 2a^2 - 2a^2(-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$

Отсюда $A_2A_4 = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

По условию задачи дано, что $A_2A_4 = 4\sqrt{3}$ см. Составим уравнение:

$a\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

Следовательно, сторона шестиугольника $a = 4$ см.

Радиус описанной окружности $R$ равен стороне правильного шестиугольника:

$R = a = 4$ см.

Радиус вписанной окружности $r$ (апофема) связан со стороной $a$ соотношением $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значение $a=4$ см:

$r = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: радиус описанной окружности равен 4 см, радиус вписанной окружности равен $2\sqrt{3}$ см.

б)

Необходимо доказать, что расстояние между прямыми $A_2A_3$ и $A_6A_5$ равно длине диагонали $A_2A_4$.

В правильном шестиугольнике $A_1A_2...A_6$ стороны $A_2A_3$ и $A_5A_6$ (которая лежит на той же прямой, что и $A_6A_5$) являются противолежащими. Противолежащие стороны правильного шестиугольника параллельны, следовательно, прямые $A_2A_3$ и $A_6A_5$ параллельны.

Расстояние между двумя параллельными противолежащими сторонами правильного шестиугольника равно удвоенному радиусу вписанной в него окружности (апофеме). Пусть $d$ — искомое расстояние, а $r$ — радиус вписанной окружности.

$d = 2r$

Пусть сторона шестиугольника равна $a$. Тогда радиус вписанной окружности выражается через сторону как $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, расстояние между прямыми равно:

$d = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

Теперь найдем длину диагонали $A_2A_4$. Как было показано в пункте а), длина этой диагонали выражается через сторону $a$ как:

$A_2A_4 = a\sqrt{3}$.

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что расстояние между прямыми $A_2A_3$ и $A_6A_5$ ($a\sqrt{3}$) равно длине диагонали $A_2A_4$ ($a\sqrt{3}$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.