Тест 1, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 1

На рисунке изображен правильный шестиугольник, его площадь равна $120 \text{ см}^2$. Найдите величину угла $ \alpha $ и площадь оранжевого треугольника.

а) $60^\circ$, $40 \text{ см}^2$;

б) $45^\circ$, $20 \text{ см}^2$;

в) $60^\circ$, $20 \text{ см}^2$.

Для решения задачи найдем сначала величину угла $α$, а затем площадь оранжевого треугольника, используя свойства правильного шестиугольника.

Нахождение величины угла α

Пусть сторона правильного шестиугольника равна $a$. Оранжевый треугольник на рисунке образован тремя вершинами шестиугольника. Его стороны — это сторона шестиугольника (длиной $a$), короткая диагональ (соединяет вершины через одну, длина $d_1$) и длинная диагональ (соединяет противоположные вершины, длина $d_2$).

Известно, что для правильного шестиугольника со стороной $a$ длины его диагоналей равны:

• Длина короткой диагонали: $d_1 = a\sqrt{3}$.
• Длина длинной диагонали: $d_2 = 2a$.

Таким образом, оранжевый треугольник имеет стороны с длинами $a$, $a\sqrt{3}$ и $2a$.

Угол $α$ в этом треугольнике, как видно из рисунка, находится между стороной шестиугольника (длина $a$) и длинной диагональю (длина $2a$). Этот угол противоположен стороне, являющейся короткой диагональю (длина $a\sqrt{3}$). Для нахождения угла $α$ применим теорему косинусов:

$(a\sqrt{3})^2 = a^2 + (2a)^2 - 2 \cdot a \cdot (2a) \cdot \cos(α)$

$3a^2 = a^2 + 4a^2 - 4a^2 \cos(α)$

$3a^2 = 5a^2 - 4a^2 \cos(α)$

$4a^2 \cos(α) = 5a^2 - 3a^2$

$4a^2 \cos(α) = 2a^2$

Разделив обе части на $4a^2$ (поскольку $a \neq 0$), получим:

$\cos(α) = \frac{2a^2}{4a^2} = \frac{1}{2}$

Следовательно, величина угла $α$ равна $60°$.

Нахождение площади оранжевого треугольника

Площадь треугольника ($S_{тр}$) можно найти по формуле с использованием двух сторон и синуса угла между ними. Воспользуемся сторонами, образующими угол $α=60°$, то есть сторонами с длинами $a$ и $2a$.

$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (2a) \cdot \sin(60°) = a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Площадь правильного шестиугольника ($S_{шест}$) со стороной $a$ равна сумме площадей шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{шест} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем отношение площади оранжевого треугольника к площади всего шестиугольника:

$\frac{S_{тр}}{S_{шест}} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{3}$

Это означает, что площадь оранжевого треугольника составляет одну треть от площади шестиугольника. По условию задачи, площадь шестиугольника равна $120$ см².

$S_{тр} = \frac{1}{3} \cdot S_{шест} = \frac{1}{3} \cdot 120 \text{ см}^2 = 40 \text{ см}^2$.

Таким образом, искомые величины: угол $α = 60°$ и площадь оранжевого треугольника $40$ см².

Ответ: 60°, 40 см².