Номер 265, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

265. Дан правильный четырехугольник, $a$ — его сторона, $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности. Перенесите в тетрадь и заполните таблицу.

$a$: 4

$R$: $8\sqrt{2}$

$r$: $\sqrt{8}$

Правильный четырехугольник — это квадрат. Обозначим его сторону как $a$, радиус вписанной окружности как $r$, и радиус описанной окружности как $R$. Для квадрата существуют следующие соотношения между этими величинами:

1. Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата: $2r = a$. Отсюда радиус вписанной окружности $r = \frac{a}{2}$.

2. Диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата $d$: $2R = d$. Диагональ квадрата находится по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Отсюда радиус описанной окружности $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Используя эти формулы, заполним пустые ячейки таблицы.

Первый столбец

Дано: сторона квадрата $a = 4$.

Находим радиус вписанной окружности:

$r = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Находим радиус описанной окружности:

$R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $R = 2\sqrt{2}$, $r = 2$.

Второй столбец

Дано: радиус описанной окружности $R = 8\sqrt{2}$.

Находим сторону квадрата из формулы $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$:

$a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \cdot 8 = 16$.

Находим радиус вписанной окружности:

$r = \frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Ответ: $a = 16$, $r = 8$.

Третий столбец

Дано: радиус вписанной окружности $r = \sqrt{8}$.

Упростим значение $r$: $r = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Находим сторону квадрата из формулы $r = \frac{a}{2}$:

$a = 2r = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Находим радиус описанной окружности:

$R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$.

Ответ: $a = 4\sqrt{2}$, $R = 4$.

Заполненная таблица: