Номер 263, страница 138 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

263. Дан правильный восьмиугольник $A_1A_2A_3...A_8$
(рис. 207).

а) Докажите, что $A_2A_5 \parallel A_3A_4$.

б) Докажите, что $A_1A_2A_5A_6$ — прямоугольник.

в) Докажите, что диагональ $A_1A_5$ проходит через центр многоугольника.

г) Найдите углы треугольника $A_1A_2A_5$.

д) Докажите, что площадь прямоугольника $A_1A_2A_5A_6$ равна $\frac{1}{2}$ площади данного правильного восьмиугольника.

Рис. 207

а) Рассмотрим правильный восьмиугольник $A_1A_2...A_8$, вписанный в окружность. Вершины восьмиугольника делят окружность на 8 равных дуг, каждая из которых имеет градусную меру $360^\circ / 8 = 45^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $A_2A_3A_4A_5$. Он вписан в окружность. Дуги, стягиваемые его сторонами $A_2A_3$ и $A_4A_5$, равны, так как это дуги, на которые опираются стороны правильного восьмиугольника: $\cup A_2A_3 = \cup A_4A_5 = 45^\circ$. Вписанный четырехугольник, у которого дуги между двумя вершинами равны дугам между двумя другими вершинами, является равнобедренной трапецией. В данном случае хорды $A_2A_3$ и $A_4A_5$ равны, и они являются боковыми сторонами трапеции $A_2A_3A_4A_5$. Основаниями этой трапеции являются стороны $A_3A_4$ и $A_2A_5$. По определению трапеции, ее основания параллельны. Следовательно, $A_2A_5 \parallel A_3A_4$.

Ответ: Доказано.

б) Рассмотрим четырехугольник $A_1A_2A_5A_6$. Докажем, что его диагонали $A_1A_5$ и $A_2A_6$ равны и точкой пересечения делятся пополам. Для этого достаточно показать, что обе диагонали являются диаметрами описанной окружности.

Дуга, на которую опирается хорда (диагональ) $A_1A_5$, состоит из четырех меньших дуг: $\cup A_1A_2A_3A_4A_5 = \cup A_1A_2 + \cup A_2A_3 + \cup A_3A_4 + \cup A_4A_5$. Градусная мера этой дуги равна $4 \times 45^\circ = 180^\circ$. Хорда, стягивающая дугу в $180^\circ$, является диаметром окружности.

Аналогично, дуга, на которую опирается диагональ $A_2A_6$, это $\cup A_2A_3A_4A_5A_6$. Ее градусная мера также равна $4 \times 45^\circ = 180^\circ$. Следовательно, $A_2A_6$ также является диаметром.

Поскольку диагонали $A_1A_5$ и $A_2A_6$ являются диаметрами одной и той же окружности, они равны по длине и пересекаются в ее центре, делясь при этом пополам. Четырехугольник, у которого диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, является прямоугольником. Таким образом, $A_1A_2A_5A_6$ — прямоугольник.

Ответ: Доказано.

в) Центр правильного многоугольника совпадает с центром его описанной окружности. Как было показано в пункте б), хорда $A_1A_5$ стягивает дугу $\cup A_1A_2A_3A_4A_5$, градусная мера которой составляет $4 \times (360^\circ / 8) = 4 \times 45^\circ = 180^\circ$. Хорда, стягивающая дугу в $180^\circ$, является диаметром окружности. Любой диаметр проходит через центр окружности. Следовательно, диагональ $A_1A_5$ проходит через центр описанной окружности, который и является центром многоугольника.

Ответ: Доказано.

г) Найдем углы треугольника $A_1A_2A_5$, который вписан в описанную окружность восьмиугольника. Величину вписанного угла можно найти как половину градусной меры дуги, на которую он опирается.

1. Угол $\angle A_1A_2A_5$ опирается на дугу $\cup A_1A_8A_7A_6A_5$. Эта дуга состоит из 4-х элементарных дуг по $45^\circ$, ее общая мера $4 \times 45^\circ = 180^\circ$. Таким образом, $\angle A_1A_2A_5 = 180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это также следует из того, что угол опирается на диаметр $A_1A_5$.

2. Угол $\angle A_2A_5A_1$ опирается на дугу $\cup A_1A_2$. Ее мера $45^\circ$. Следовательно, $\angle A_2A_5A_1 = 45^\circ / 2 = 22.5^\circ$.

3. Угол $\angle A_5A_1A_2$ опирается на дугу $\cup A_2A_3A_4A_5$. Эта дуга состоит из 3-х элементарных дуг, ее мера $3 \times 45^\circ = 135^\circ$. Следовательно, $\angle A_5A_1A_2 = 135^\circ / 2 = 67.5^\circ$.

Проверка: Сумма углов треугольника $90^\circ + 22.5^\circ + 67.5^\circ = 180^\circ$.

Ответ: Углы треугольника $A_1A_2A_5$ равны $90^\circ$, $67.5^\circ$ и $22.5^\circ$.

д) Пусть $O$ — центр правильного восьмиугольника, а $R$ — радиус его описанной окружности. Площадь восьмиугольника можно представить как сумму площадей восьми равных равнобедренных треугольников с вершиной в центре $O$, например, $\triangle A_1OA_2$. Центральный угол такого треугольника равен $360^\circ / 8 = 45^\circ$.

Площадь одного такого треугольника, например $\triangle A_1OA_2$, равна $S_{\triangle} = \frac{1}{2}R \cdot R \sin(45^\circ) = \frac{1}{2}R^2\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Площадь всего восьмиугольника: $S_{8} = 8 \cdot S_{\triangle} = 8 \cdot \frac{1}{2}R^2\frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}R^2$.

Теперь найдем площадь прямоугольника $A_1A_2A_5A_6$. Его площадь равна сумме площадей четырех треугольников, на которые он разбивается диагоналями: $\triangle A_1OA_2$, $\triangle A_2OA_5$, $\triangle A_5OA_6$ и $\triangle A_6OA_1$.

- Площадь $\triangle A_1OA_2$ равна $S_{\triangle}$.

- Площадь $\triangle A_5OA_6$ также равна $S_{\triangle}$, так как он конгруэнтен $\triangle A_1OA_2$.

- Рассмотрим $\triangle A_2OA_5$. Угол $\angle A_2OA_5$ состоит из трех центральных углов: $\angle A_2OA_3 + \angle A_3OA_4 + \angle A_4OA_5 = 3 \times 45^\circ = 135^\circ$. Его площадь равна $S_{\triangle A_2OA_5} = \frac{1}{2}R^2 \sin(135^\circ)$. Так как $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ)$, то $S_{\triangle A_2OA_5} = \frac{1}{2}R^2 \sin(45^\circ) = S_{\triangle}$.

- Аналогично, площадь $\triangle A_6OA_1$ также равна $S_{\triangle}$.

Таким образом, площадь прямоугольника $S_{rect} = S_{\triangle} + S_{\triangle} + S_{\triangle} + S_{\triangle} = 4S_{\triangle}$.

Сравнивая площади: $S_{rect} = 4S_{\triangle}$ и $S_{8} = 8S_{\triangle}$. Отсюда следует, что $S_{rect} = \frac{4S_{\triangle}}{8S_{\triangle}} S_{8} = \frac{1}{2}S_{8}$.

Ответ: Доказано.