Номер 267, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

267. а) Найдите площадь правильного шестиугольника со стороной, равной 4 см.

б) Найдите периметр правильного шестиугольника, если радиус вписанной в него окружности равен $6\sqrt{3}$ см.

а) Правильный шестиугольник можно представить как шесть равносторонних треугольников, сходящихся вершинами в центре шестиугольника. Сторона каждого такого треугольника равна стороне шестиугольника.
Пусть сторона шестиугольника равна $a = 4$ см.
Площадь одного равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Подставим значение $a = 4$ см:

$S_{\triangle} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².
Площадь всего шестиугольника $S_6$ равна сумме площадей шести таких треугольников:

$S_6 = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см².
Ответ: $24\sqrt{3}$ см².

б) Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности $r$ связан с его стороной $a$ формулой:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Эта формула следует из того, что радиус вписанной окружности является высотой в одном из шести равносторонних треугольников, на которые можно разделить шестиугольник.
По условию $r = 6\sqrt{3}$ см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти сторону $a$:

$6\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Домножим обе части уравнения на 2:

$12\sqrt{3} = a\sqrt{3}$.
Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$a = 12$ см.
Периметр правильного шестиугольника $P$ — это сумма длин всех его шести сторон:

$P = 6 \cdot a$.
Подставим найденное значение стороны $a$:

$P = 6 \cdot 12 = 72$ см.
Ответ: 72 см.