Номер 274, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

274. Около данной окружности опишите при помощи циркуля и линейки правильный:

а) треугольник;

б) четырехугольник;

в) шестиугольник.

а) треугольник;

Для построения правильного треугольника, описанного около данной окружности, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точки касания. Для этого необходимо разделить окружность на три равные дуги. Проще всего это сделать, вписав в окружность правильный шестиугольник. Выберем на окружности произвольную точку $A_1$. Раствором циркуля, равным радиусу окружности, сделаем последовательно 6 засечек, получив точки $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$.

2. Точки $A_1, A_3, A_5$ делят окружность на три равные дуги. Угол между радиусами, проведенными к соседним из этих точек, например, $\angle A_1OA_3$, равен $120^\circ$. Эти точки и будут точками касания сторон искомого треугольника.

3. Построить касательные. В каждой из точек $A_1, A_3, A_5$ необходимо построить прямую, перпендикулярную радиусу, проведенному в эту точку. Такая прямая будет касательной к окружности.

4. Построенные три касательные пересекутся в трех точках, которые и будут вершинами искомого правильного треугольника.

Ответ: Построен правильный треугольник, описанный около данной окружности.

б) четырехугольник;

Для построения правильного четырехугольника (квадрата), описанного около данной окружности, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точки касания. Проведем через центр окружности $O$ произвольный диаметр и обозначим его концы $A_1$ и $A_3$.

2. Построим второй диаметр, перпендикулярный первому. Для этого построим серединный перпендикуляр к отрезку $A_1A_3$. Точки пересечения этого перпендикуляра с окружностью обозначим $A_2$ и $A_4$.

3. Точки $A_1, A_2, A_3, A_4$ делят окружность на четыре равные дуги. Угол между радиусами, проведенными к соседним точкам, например, $\angle A_1OA_2$, равен $90^\circ$. Эти точки будут точками касания сторон искомого квадрата.

4. Построить касательные. В каждой из точек $A_1, A_2, A_3, A_4$ построим прямую, перпендикулярную соответствующему радиусу.

5. Эти четыре касательные при пересечении образуют искомый правильный четырехугольник (квадрат).

Ответ: Построен правильный четырехугольник (квадрат), описанный около данной окружности.

в) шестиугольник.

Для построения правильного шестиугольника, описанного около данной окружности, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точки касания. Выберем на окружности произвольную точку $A_1$. Раствором циркуля, равным радиусу окружности, сделаем последовательно 6 засечек на окружности, получив точки $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$.

2. Полученные точки делят окружность на шесть равных дуг. Угол между радиусами, проведенными к соседним точкам, например, $\angle A_1OA_2$, равен $60^\circ$. Эти точки будут точками касания сторон искомого шестиугольника.

3. Построить касательные. В каждой из шести точек $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ построим прямую, перпендикулярную радиусу, проведенному в эту точку.

4. Эти шесть касательных при пересечении образуют вершины искомого правильного шестиугольника.

Ответ: Построен правильный шестиугольник, описанный около данной окружности.