Моделирование, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Моделирование

Дизайнер хочет изготовить бумажные цветы, вырезав их из кругов, как показано на рисунке 219.

Задание. Помогите дизайнеру: составьте алгоритм решения поставленной задачи с использованием циркуля, ножниц и бумаги.

Обоснуйте вашу идею математически и проверьте ее на практике.

Puc. 219

Составление алгоритма решения задачи

Для изготовления бумажного цветка с помощью циркуля, ножниц и бумаги, следуйте этому алгоритму:

1. На листе бумаги с помощью циркуля начертите круг произвольного радиуса $R$ с центром в точке $O$. Это будет основа цветка.
2. Не меняя раствор циркуля (он должен оставаться равным $R$), установите острие в любую точку на окружности, назовем ее $P_1$.
3. Проведите циркулем небольшую дугу, пересекающую окружность. Точку пересечения назовем $P_2$.
4. Переместите острие циркуля в точку $P_2$ и повторите действие, чтобы найти точку $P_3$. Продолжайте таким же образом, чтобы найти точки $P_4$, $P_5$ и $P_6$. При правильном выполнении, последняя дуга из точки $P_6$ должна попасть точно в начальную точку $P_1$. Таким образом, вы разделили окружность на 6 равных частей.
5. Теперь нарисуем лепестки. Раствор циркуля по-прежнему равен $R$.
   • Чтобы нарисовать один лепесток (например, с вершинами в центре $O$ и в точке $P_2$), установите острие циркуля в соседнюю точку $P_1$ и проведите дугу от $O$ до $P_2$.
   • Затем установите острие в другую соседнюю точку $P_3$ и проведите вторую дугу от $O$ до $P_2$. Две эти дуги образуют контур одного лепестка.
6. Повторите шаг 5 для всех шести точек на окружности. Для каждого лепестка с вершиной в точке $P_i$ дуги строятся из соседних точек $P_{i-1}$ и $P_{i+1}$ (индексы берутся по кругу, т.е. для $P_1$ соседи $P_6$ и $P_2$). В результате у вас получится рисунок шестилепесткового цветка, вписанного в круг.
7. Аккуратно вырежьте ножницами получившийся цветок по внешним дугам лепестков.

Ответ: представлен пошаговый алгоритм для создания цветка с использованием циркуля и ножниц.

Математическое обоснование идеи

Предложенный алгоритм геометрически точен. Его работа основана на свойствах правильного шестиугольника и равносторонних треугольников.

1. Разделение окружности: Когда мы используем радиус круга $R$ для нанесения засечек на окружности, мы по сути строим вписанный в круг правильный шестиугольник со стороной, равной радиусу круга. Рассмотрим треугольник, образованный центром круга $O$ и двумя соседними точками на окружности, например, $P_1$ и $P_2$. Стороны $OP_1$ и $OP_2$ равны радиусу $R$. Длину хорды $P_1P_2$ мы также делаем равной $R$ с помощью циркуля. Таким образом, треугольник $\triangle OP_1P_2$ является равносторонним.

2. Углы: Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, центральный угол $\angle P_1OP_2 = 60^\circ$. Так как полный угол окружности составляет $360^\circ$, то $360^\circ / 60^\circ = 6$. Это означает, что данная процедура точно делит окружность на 6 равных частей, и точки $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$ являются вершинами правильного шестиугольника.

3. Построение лепестков: Рассмотрим построение лепестка с вершинами в центре $O$ и в точке $P_2$. Одна из дуг, его образующих, строится из центра в точке $P_1$ радиусом, равным расстоянию $P_1O$, то есть $R$. Так как треугольник $\triangle OP_1P_2$ равносторонний, расстояние $P_1P_2$ также равно $R$. Следовательно, дуга, проведенная из центра $P_1$ радиусом $R$, пройдет через обе точки $O$ и $P_2$. Аналогично, дуга, проведенная из центра $P_3$ радиусом $R$, также пройдет через точки $O$ и $P_2$, так как $\triangle OP_2P_3$ тоже равносторонний. Эти две дуги и формируют симметричный лепесток. Повторение этого построения для всех вершин шестиугольника создает симметричный цветок с шестью лепестками.

Ответ: алгоритм математически обоснован свойствами правильного шестиугольника и равносторонних треугольников, которые позволяют точно разделить окружность и построить симметричные лепестки.

Проверка на практике

Чтобы проверить идею на практике, необходимо выполнить предложенный алгоритм.

Вам понадобятся:

• Лист бумаги (можно цветной)
• Циркуль с карандашом
• Ножницы

Процесс проверки:

1. В точности следуйте каждому шагу алгоритма, начиная с построения основного круга.
2. Ключевой момент – сохранять раствор циркуля неизменным (равным $R$) на всех этапах построения: и при разметке точек, и при рисовании дуг лепестков.
3. После того как все линии будут начерчены, на вашей бумаге должен появиться узор, идентичный изображенному на рисунке 219.
4. Вырежьте цветок по внешним изогнутым линиям лепестков. Если все было сделано правильно, у вас в руках окажется цельный бумажный цветок с шестью симметричными лепестками.

Успешное создание физической модели цветка, который выглядит как на рисунке, будет практическим подтверждением корректности предложенного алгоритма и его математического обоснования.

Ответ: для практической проверки необходимо с помощью циркуля, ножниц и бумаги пошагово выполнить предложенный алгоритм и убедиться, что в результате получается бумажный цветок, соответствующий рисунку.