Гимнастика ума, страница 151 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Гимнастика ума

Фрагмент пазла представляет собой прямоугольник размером $30 \times 50$ мм, в котором на противоположных сторонах есть два полукруглых выреза и на двух других сторонах — два выступа в виде полукругов. Вырезы и выступы имеют одинаковый диаметр 12 мм (рис. 233). Найдите площадь этого фрагмента пазла в квадратных сантиметрах.

30

Puc. 233

50

12

Для решения этой задачи необходимо найти площадь сложной фигуры. Однако, можно заметить, что фигура представляет собой прямоугольник, у которого с двух противоположных сторон вырезали по полукругу, а к двум другим сторонам добавили точно такие же полукруги.

Площадь фрагмента пазла ($S_{пазла}$) можно рассчитать как сумму площади центрального прямоугольника ($S_{прям}$), площади двух полукруглых выступов ($S_{выст}$) и вычесть площадь двух полукруглых вырезов ($S_{выр}$).

$S_{пазла} = S_{прям} - S_{выр} + S_{выст}$

Поскольку вырезы и выступы представляют собой полукруги с одинаковым диаметром 12 мм, то их площади равны. Два полукруглых выреза вместе образуют по площади один круг, и два полукруглых выступа также образуют один круг того же самого размера. Следовательно, площадь вырезанной части равна площади добавленной части: $S_{выр} = S_{выст}$.

Таким образом, площадь фигуры пазла будет в точности равна площади исходного прямоугольника, так как добавленные и вырезанные площади компенсируют друг друга.

$S_{пазла} = S_{прям} - S_{выр} + S_{выр} = S_{прям}$

Размеры прямоугольника даны в миллиметрах: 30 мм и 50 мм. Найдем его площадь в квадратных миллиметрах.

$S_{прям} = 30 \text{ мм} \times 50 \text{ мм} = 1500 \text{ мм}^2$

В условии требуется найти площадь в квадратных сантиметрах. Переведем полученное значение, зная, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, а значит $1 \text{ см}^2 = (10 \text{ мм})^2 = 100 \text{ мм}^2$.

$S = \frac{1500 \text{ мм}^2}{100} = 15 \text{ см}^2$

Ответ: $15 \text{ см}^2$.