Реальная геометрия, страница 151 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Реальная геометрия

Из квадратного листа металла необходимо вырезать 4 одинаковых круга наибольшего диаметра (рис. 234). Определите, сколько процентов составят отходы.

Рис. 234

Интересно знать.

В 1987 г. был учрежден неофициальный праздник — день числа $\pi$, который отмечают любители математики 14 марта (3-й месяц, 14-е число).

Долгое время математики старались найти как можно большее число знаков числа $\pi$ после запятой.

Легко запомнить двенадцать первых знаков числа $\pi \approx 3,14159265358...$ при помощи следующей считалки: «Это я знаю и помню прекрасно, но многие цифры мне лишнии, напрасны», — в которой количество букв в каждом слове соответствует очередной цифре числа $\pi$: «это» — 3, «я» — 1, «знаю» — 4 и т. д.

Для того чтобы определить процент отходов, необходимо найти отношение площади отходов к площади исходного квадратного листа металла и умножить его на 100%.

1. Найдём площадь исходного листа.
Пусть сторона квадратного листа равна $a$. Тогда его площадь $S_{квадрата}$ составляет:

$S_{квадрата} = a^2$

2. Найдём площадь вырезаемых кругов.
Чтобы 4 одинаковых круга имели наибольший возможный диаметр, их нужно расположить вплотную друг к другу и к сторонам квадрата, как показано на рисунке. При таком расположении вдоль каждой стороны квадрата умещаются два диаметра круга.

Пусть диаметр одного круга равен $d$. Тогда $2d = a$, откуда $d = \frac{a}{2}$.

Радиус каждого круга $r$ будет равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{a/2}{2} = \frac{a}{4}$.

Площадь одного круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$. Подставим значение радиуса:

$S_{круга} = \pi (\frac{a}{4})^2 = \frac{\pi a^2}{16}$

Так как вырезается 4 круга, их общая площадь $S_{4\_кругов}$ составит:

$S_{4\_кругов} = 4 \times S_{круга} = 4 \times \frac{\pi a^2}{16} = \frac{\pi a^2}{4}$

3. Найдём площадь и процент отходов.
Площадь отходов $S_{отходов}$ — это разность между площадью квадрата и общей площадью вырезанных кругов:

$S_{отходов} = S_{квадрата} - S_{4\_кругов} = a^2 - \frac{\pi a^2}{4} = a^2(1 - \frac{\pi}{4})$

Теперь найдём, какой процент отходы составляют от площади всего листа:

Процент отходов $= \frac{S_{отходов}}{S_{квадрата}} \times 100\% = \frac{a^2(1 - \frac{\pi}{4})}{a^2} \times 100\% = (1 - \frac{\pi}{4}) \times 100\%$

4. Выполним числовые расчёты.
Примем значение числа $\pi \approx 3,14$.

Процент отходов $\approx (1 - \frac{3,14}{4}) \times 100\% = (1 - 0,785) \times 100\% = 0,215 \times 100\% = 21,5\%$

Ответ: отходы составят 21,5%.