Реальная геометрия, страница 145 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Реальная геометрия

Задание 1. Имеется квадратный лист гипсокартона со стороной 1 м. Из него необходимо получить правильный восьмиугольник, обрезав углы (рис. 222). Определите длины отрезков $x$ и $y$. Ответ округлите до 1 см.

Задание 2. Из листа фанеры, имеющего форму правильного треугольника со стороной 1 м, необходимо изготовить правильный шестиугольник, обрезав углы (рис. 223). Определите длины отрезков $x$ и $y$. Ответ округлите до 1 см.

Замечание. При выполнении заданий 1 и 2 используйте тригонометрические таблицы и калькулятор.

1 м
Puc. 222

1 м
Рис. 223

Задание 1. Для того чтобы из квадратного листа со стороной $L=1$ м получить правильный восьмиугольник, необходимо срезать с его углов четыре одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольника. Обозначим длину катета такого треугольника как $y$. Гипотенуза этого треугольника становится стороной восьмиугольника, ее длина обозначена как $x$. Применим теорему Пифагора к срезанному треугольнику: $y^2 + y^2 = x^2$, что упрощается до $2y^2 = x^2$ и, следовательно, $x = y\sqrt{2}$. Сторона исходного квадрата $L$ состоит из одной стороны восьмиугольника $x$ и двух катетов $y$ срезанных треугольников. Таким образом, мы можем записать уравнение: $L = y + x + y = x + 2y$. Учитывая, что $L=1$ м, мы получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $x + 2y = 1$
2) $x = y\sqrt{2}$
Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое: $y\sqrt{2} + 2y = 1$. Вынесем $y$ за скобки: $y(\sqrt{2} + 2) = 1$. Отсюда находим $y$: $y = \frac{1}{2 + \sqrt{2}}$. Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 - \sqrt{2})$: $y = \frac{1 \cdot (2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$. Используя калькулятор, найдем приближенное значение: $y \approx 1 - \frac{1.4142}{2} = 1 - 0.7071 = 0.2929$ м. Теперь найдем $x$. Из первого уравнения $x = 1 - 2y$. Подставим найденное выражение для $y$: $x = 1 - 2(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 - 2 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$. Приближенное значение для $x$: $x \approx 1.4142 - 1 = 0.4142$ м. Переведем полученные значения в сантиметры (1 м = 100 см) и округлим до 1 см:
$x \approx 0.4142 \text{ м} = 41.42 \text{ см} \approx 41$ см.
$y \approx 0.2929 \text{ м} = 29.29 \text{ см} \approx 29$ см.
Ответ: $x \approx 41$ см, $y \approx 29$ см.

Задание 2. Исходная фигура — правильный (равносторонний) треугольник со стороной $L=1$ м. Для получения правильного шестиугольника необходимо срезать с углов три одинаковых треугольника. Поскольку все углы исходного треугольника равны $60^\circ$, а итоговый шестиугольник должен быть правильным (все стороны равны), то срезаемые углы также являются равносторонними треугольниками. Обозначим сторону срезаемого треугольника через $c$. Сторона исходного большого треугольника $L$ состоит из трех частей: центрального отрезка, который является стороной шестиугольника (обозначен $x$), и двух боковых отрезков, которые являются сторонами срезанных треугольников. Таким образом, $L = c + x + c = x + 2c$. Стороны шестиугольника бывают двух видов: те, что лежат на сторонах исходного треугольника (длиной $x$), и те, что образовались в результате среза углов. Длина последних равна стороне срезаемого треугольника $c$. На рисунке эта сторона обозначена как $y$, то есть $y=c$. Так как шестиугольник правильный, все его стороны должны быть равны, следовательно, $x = y$. Из этого следует, что $x=y=c$. Подставим $c=x$ в уравнение для стороны большого треугольника: $L = x + 2x = 3x$. Так как $L=1$ м, получаем $1 = 3x$, откуда $x = \frac{1}{3}$ м. Поскольку $x=y$, то и $y = \frac{1}{3}$ м. Теперь переведем значения в сантиметры и округлим до 1 см:
$x = \frac{1}{3} \text{ м} \approx 0.333... \text{ м} = 33.3... \text{ см} \approx 33$ см.
$y = \frac{1}{3} \text{ м} \approx 0.333... \text{ м} = 33.3... \text{ см} \approx 33$ см.
Ответ: $x \approx 33$ см, $y \approx 33$ см.