Номер 270, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

270. а) Придумайте алгоритм построения при помощи циркуля и линейки правильного треугольника по его высоте $h$.

б) Придумайте алгоритм построения при помощи циркуля и линейки правильного четырехугольника по его диагонали $d$.

а)

Для построения правильного (равностороннего) треугольника по его высоте h используется свойство, что в таком треугольнике центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан и делит высоту (которая также является и медианой) в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности R будет равен $2/3$ высоты, а центр окружности O будет лежать на высоте на расстоянии $R$ от вершины.

Алгоритм построения:

1. Провести произвольную прямую l, которая будет содержать основание треугольника.
2. Выбрать на прямой l произвольную точку H и построить через нее прямую m, перпендикулярную l.
3. На прямой m от точки H отложить отрезок AH, равный заданной высоте h. Точка A — вершина искомого треугольника.
4. Найти на отрезке AH точку O — центр описанной окружности. Для этого необходимо разделить отрезок AH в отношении 2:1. Это можно сделать с помощью теоремы Фалеса: провести из точки A вспомогательный луч, отложить на нем циркулем три равных отрезка, соединить конец третьего отрезка с точкой H и провести прямую, параллельную этому соединению, через конец второго отрезка. Точка пересечения этой параллельной прямой с AH и будет искомой точкой O. Таким образом, $AO = \frac{2}{3}h$.
5. Построить окружность с центром в точке O и радиусом, равным отрезку OA.
6. Точки пересечения построенной окружности с прямой l обозначить как B и C. Это две другие вершины треугольника.
7. Соединить точки A, B и C отрезками.

Треугольник ABC является искомым правильным треугольником с высотой h.

Ответ: Алгоритм построения основан на нахождении центра описанной окружности, который делит высоту в отношении 2:1, и последующем нахождении вершин треугольника на этой окружности.

б)

Для построения правильного четырехугольника (квадрата) по его диагонали d используется свойство, что диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

Алгоритм построения:

1. Провести отрезок AC, равный по длине заданной диагонали d. Точки A и C будут являться противоположными вершинами квадрата.
2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку AC. Для этого из точек A и C как из центров провести дуги окружности с одинаковым радиусом, большим половины длины AC. Прямая, проходящая через две точки пересечения этих дуг, и есть серединный перпендикуляр. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с отрезком AC как O.
3. Точка O является центром квадрата и точкой пересечения его диагоналей. Вторая диагональ BD лежит на построенном серединном перпендикуляре.
4. Так как диагонали равны и делятся в точке пересечения пополам, то отрезки OB и OD должны быть равны отрезкам OA и OC.
5. С помощью циркуля измерить расстояние OA (равное $d/2$) и отложить его на серединном перпендикуляре в обе стороны от точки O. Полученные точки обозначить как B и D.
6. Последовательно соединить отрезками точки A, B, C и D.

Четырехугольник ABCD является искомым квадратом.

Ответ: Алгоритм построения заключается в проведении двух взаимно перпендикулярных отрезков равной длины d, которые делят друг друга пополам; концы этих отрезков являются вершинами искомого квадрата.