Номер 264, страница 142 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

264. Дан правильный треугольник, $a$ — его сторона, $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности, $h$ — высота, $S$ — площадь. Перенесите в тетрадь и заполните таблицу.

$a$

$6$

$h$

$2\sqrt{3}$

$R$

$2$

$r$

$\sqrt{6}$

$S$

$16\sqrt{3}$

Для решения задачи и заполнения таблицы воспользуемся формулами для правильного (равностороннего) треугольника. Пусть $a$ — сторона треугольника, $h$ — высота, $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности, $S$ — площадь.

Основные формулы, связывающие эти величины:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3}h$

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{1}{3}h = \frac{R}{2}$

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Будем производить расчеты для каждого столбца таблицы.

Расчет для 1-го столбца

Дано: сторона $a = 6$.

Высота: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

Радиус описанной окружности: $R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$.

Площадь: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$.

Ответ: $h=3\sqrt{3}$, $R=2\sqrt{3}$, $r=\sqrt{3}$, $S=9\sqrt{3}$.

Расчет для 2-го столбца

Дано: высота $h = 2\sqrt{3}$.

Из формулы $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ найдем сторону $a$: $a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$.

Радиус описанной окружности: $R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Площадь: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$.

Ответ: $a=4$, $R=\frac{4\sqrt{3}}{3}$, $r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$, $S=4\sqrt{3}$.

Расчет для 3-го столбца

Дано: радиус описанной окружности $R = 2$.

Из формулы $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ найдем сторону $a$: $a = \frac{3R}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.

Высота: $h = \frac{3}{2}R = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{R}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Площадь: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$.

Ответ: $a=2\sqrt{3}$, $h=3$, $r=1$, $S=3\sqrt{3}$.

Расчет для 4-го столбца

Дано: радиус вписанной окружности $r = \sqrt{6}$.

Из формулы $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ найдем сторону $a$: $a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{\frac{6}{3}} = 6\sqrt{2}$.

Высота: $h = 3r = 3\sqrt{6}$.

Радиус описанной окружности: $R = 2r = 2\sqrt{6}$.

Площадь: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(6\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{72\sqrt{3}}{4} = 18\sqrt{3}$.

Ответ: $a=6\sqrt{2}$, $h=3\sqrt{6}$, $R=2\sqrt{6}$, $S=18\sqrt{3}$.

Расчет для 5-го столбца

Дано: площадь $S = 16\sqrt{3}$.

Из формулы $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ найдем сторону $a$: $a^2 = \frac{4S}{\sqrt{3}} = \frac{4 \cdot 16\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 64$. Следовательно, $a = \sqrt{64} = 8$.

Высота: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.

Радиус описанной окружности: $R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$.

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{8\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $a=8$, $h=4\sqrt{3}$, $R=\frac{8\sqrt{3}}{3}$, $r=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Итоговая заполненная таблица: