Номер 262, страница 138 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

262. Найдите площадь правильного 12-угольника, у которого радиус описанной окружности равен 6 см.

Для нахождения площади правильного 12-угольника, вписанного в окружность, разобьем его на 12 равных равнобедренных треугольников. Вершины этих треугольников находятся в центре окружности, а боковые стороны каждого треугольника равны радиусу описанной окружности $R$.

По условию задачи, радиус описанной окружности $R = 6$ см, а количество сторон (и треугольников) $n = 12$.

Угол при вершине каждого треугольника (центральный угол многоугольника) $\alpha$ можно найти, разделив полный угол $360^\circ$ на количество сторон $n$:

$\alpha = \frac{360^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$

Площадь одного такого треугольника $S_{\triangle}$ можно вычислить по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$

Подставим известные значения в формулу:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см².

Полная площадь правильного 12-угольника $S_{12}$ равна сумме площадей 12 одинаковых треугольников:

$S_{12} = 12 \cdot S_{\triangle} = 12 \cdot 9 = 108$ см².

Ответ: 108 см².