Гимнастика ума, страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Гимнастика ума

Поверхность футбольного мяча сшита из правильных черных 5-угольников и соединяющих их правильных белых 6-угольников.

Задание. Известно, что всего черных 5-угольников 12. Определите математическим путем число белых 6-угольников на поверхности мяча, а затем убедитесь в своей правоте на уроке физкультуры.

(Для самоконтроля. Ответ: число белых 6-угольников на поверхности мяча равно номиналу купюры Республики Беларусь, на лицевой стороне которой размещено изображение Дворца Румянцевых и Паскевичей в г. Гомеле.)

При помощи Интернета выясните, в каких странах мира некоторые монеты имеют форму правильного многоугольника.

Задание.

Для решения этой задачи можно использовать комбинаторный подход, основанный на структуре футбольного мяча (усеченного икосаэдра).

Пусть $N_5$ — это количество черных 5-угольников, а $N_6$ — количество белых 6-угольников. По условию, $N_5 = 12$.

1. Найдем общее число ребер, принадлежащих всем 5-угольникам. У каждого 5-угольника 5 ребер. Таким образом, общее число ребер у 12-ти 5-угольников составляет:
$12 \times 5 = 60$ ребер.

2. В структуре футбольного мяча каждый 5-угольник со всех сторон окружен 6-угольниками. Это означает, что все 60 ребер 5-угольников являются общими с 6-угольниками. То есть, это количество всех ребер, разделяющих 5-угольники и 6-угольники.

3. Теперь посмотрим на 6-угольники. Каждый 6-угольник на мяче граничит с тремя 5-угольниками и тремя другими 6-угольниками. Следовательно, у каждого 6-угольника есть ровно 3 ребра, которые он делит с 5-угольниками.

4. Общее число общих ребер между 5-угольниками и 6-угольниками можно также посчитать со стороны 6-угольников. Если $N_6$ — это искомое число 6-угольников, то общее число таких ребер равно $N_6 \times 3$.

5. Приравнивая два выражения для общего числа общих ребер, получаем уравнение:
$12 \times 5 = N_6 \times 3$
$60 = 3 N_6$
$N_6 = \frac{60}{3}$
$N_6 = 20$

Таким образом, на поверхности мяча 20 белых 6-угольников.

Для самоконтроля: Дворец Румянцевых и Паскевичей в г. Гомеле изображен на белорусской купюре номиналом 20 рублей (образца 2009 года). Расчет совпадает с номиналом.

Ответ: 20.

При помощи Интернета выясните, в каких странах мира некоторые монеты имеют форму правильного многоугольника.

Многие страны мира в разное время выпускали или выпускают монеты, имеющие форму правильного многоугольника. Такая форма делает монеты легко узнаваемыми на ощупь. Вот несколько примеров:

• Канада: монета номиналом 1 доллар, известная как «луни» (Loonie), имеет форму правильного одиннадцатиугольника.

• Объединенные Арабские Эмираты: монета достоинством 50 филсов имеет форму правильного семиугольника.

• Израиль: монета номиналом 5 новых шекелей выполнена в виде правильного двенадцатиугольника.

• Чили: монеты номиналом 1 и 5 песо имеют форму правильного восьмиугольника.

• Мадагаскар: монета в 10 ариари является правильным девятиугольником.

• Индия: в прошлом выпускала различные многоугольные монеты, например, монета в 20 пайс (1968–1971) имела форму правильного шестиугольника.

Ответ: Монеты в форме правильного многоугольника существуют или существовали в таких странах, как Канада (11-угольник), ОАЭ (7-угольник), Израиль (12-угольник), Чили (8-угольник), Мадагаскар (9-угольник), Индия (6-угольник) и многих других.