Номер 254, страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

254. На рисунке 201 изображен правильный восьмиугольник. Найдите величину угла $\alpha$.

Puc. 201

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного многоугольника.

1. Найдём величину внутреннего угла правильного восьмиугольника.
Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$. Для восьмиугольника $n=8$.

Сумма углов: $S_8 = (8-2) \cdot 180^\circ = 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ$.

Так как восьмиугольник правильный, все его углы равны. Величина одного внутреннего угла равна:

$ \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ $.

2. Найдём величину внешнего угла правильного восьмиугольника.
Внешний угол многоугольника смежен с внутренним, поэтому их сумма равна $180^\circ$.

Внешний угол равен: $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Альтернативно, сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного n-угольника каждый внешний угол равен $ \frac{360^\circ}{n} $.

Для восьмиугольника: $ \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ $.

3. Рассмотрим треугольник, содержащий угол $ \alpha $.
Этот треугольник образован одной из сторон восьмиугольника и продолжениями двух соседних с ней сторон до их пересечения. Однако, из рисунка видно, что треугольник является прямоугольным и равнобедренным. Это можно понять, если "вписать" правильный восьмиугольник в квадрат. Треугольник на рисунке — это один из четырёх "срезанных" углов квадрата.

Рассмотрим такой подход подробнее. Представим, что правильный восьмиугольник расположен так, что две его стороны горизонтальны, а две — вертикальны. Тогда треугольник на рисунке образуется продолжением горизонтальной и вертикальной сторон некоторого "описывающего" квадрата до их пересечения. Угол между ними будет прямым, то есть $90^\circ$.
Таким образом, треугольник, в котором находится угол $ \alpha $, является прямоугольным. Из-за симметрии правильного восьмиугольника этот треугольник также будет равнобедренным (его катеты равны).

В прямоугольном равнобедренном треугольнике два острых угла равны между собой. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Один угол равен $90^\circ$, значит на два других (острых) угла приходится $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Так как эти углы равны, то каждый из них равен:

$ \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $.

Угол $ \alpha $ является одним из этих острых углов.

Ответ: $ \alpha = 45^\circ $.