номер 256, страница 137 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

256. Дан правильный треугольник. Используя формулы $a = R\sqrt{3}$ и $r = \frac{1}{2}R$, заполните в тетради таблицу, где $a$ — сторона треугольника, $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности.

Содержание таблицы:

Сторона $a$: 6, (пусто), (пусто)

Радиус $R$: (пусто), $4\sqrt{3}$, (пусто)

Радиус $r$: (пусто), (пусто), 1

Для заполнения таблицы воспользуемся данными формулами для правильного треугольника: $a = R\sqrt{3}$ и $r = \frac{1}{2}R$, где $a$ — сторона треугольника, $R$ — радиус описанной окружности, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Расчеты для первого столбца
Дано: сторона треугольника $a = 6$.
1. Найдем радиус описанной окружности $R$. Из формулы $a = R\sqrt{3}$ выразим $R$:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $R = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.
2. Найдем радиус вписанной окружности $r$ по формуле $r = \frac{1}{2}R$.
Подставим найденное значение $R$: $r = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Ответ: $R = 2\sqrt{3}$, $r = \sqrt{3}$.

Расчеты для второго столбца
Дано: радиус описанной окружности $R = 4\sqrt{3}$.
1. Найдем сторону треугольника $a$ по формуле $a = R\sqrt{3}$.
Подставим значение $R$: $a = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$.
2. Найдем радиус вписанной окружности $r$ по формуле $r = \frac{1}{2}R$.
Подставим значение $R$: $r = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $a = 12$, $r = 2\sqrt{3}$.

Расчеты для третьего столбца
Дано: радиус вписанной окружности $r = 1$.
1. Найдем радиус описанной окружности $R$ из формулы $r = \frac{1}{2}R$.
Отсюда $R = 2r$. Подставим значение $r$: $R = 2 \cdot 1 = 2$.
2. Найдем сторону треугольника $a$ по формуле $a = R\sqrt{3}$.
Подставим найденное значение $R$: $a = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $R = 2$, $a = 2\sqrt{3}$.