Номер 251, страница 134 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

251. Дан правильный $n$-угольник $A_1A_2A_3...A_n$, точка $O$ — его центр, $\angle OA_1A_2 = 85^\circ30'$, $A_1A_2 + A_3A_4 + A_5A_6 = 6 \text{ см}$. Найдите периметр этого $n$-угольника.

Пусть $A_1A_2...A_n$ — данный правильный $n$-угольник с центром в точке $O$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OA_1A_2$. Так как $O$ — центр правильного многоугольника, то отрезки, соединяющие центр с вершинами, равны: $OA_1 = OA_2$ (как радиусы описанной окружности). Следовательно, треугольник $\triangle OA_1A_2$ является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1$. По условию задачи, $\angle OA_1A_2 = 85^\circ30'$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для $\triangle OA_1A_2$ имеем:

$\angle A_1OA_2 + \angle OA_1A_2 + \angle OA_2A_1 = 180^\circ$

$\angle A_1OA_2 + 2 \cdot \angle OA_1A_2 = 180^\circ$

Переведем $85^\circ30'$ в десятичные градусы: $30' = \frac{30}{60}^\circ = 0.5^\circ$. Таким образом, $\angle OA_1A_2 = 85.5^\circ$.

Подставим это значение в уравнение:

$\angle A_1OA_2 + 2 \cdot 85.5^\circ = 180^\circ$

$\angle A_1OA_2 + 171^\circ = 180^\circ$

$\angle A_1OA_2 = 180^\circ - 171^\circ = 9^\circ$

Угол $\angle A_1OA_2$ является центральным углом правильного $n$-угольника. Величина центрального угла вычисляется по формуле $\frac{360^\circ}{n}$.

Следовательно, мы можем найти количество сторон $n$:

$\frac{360^\circ}{n} = 9^\circ$

$n = \frac{360}{9} = 40$

Таким образом, многоугольник является правильным 40-угольником.

По условию дано, что $A_1A_2 + A_3A_4 + A_5A_6 = 6$ см.

Так как $n$-угольник правильный, все его стороны равны. Обозначим длину стороны через $a$. Тогда $A_1A_2 = a$, $A_3A_4 = a$ и $A_5A_6 = a$.

Подставим это в равенство:

$a + a + a = 6$ см

$3a = 6$ см

$a = \frac{6}{3} = 2$ см.

Длина одной стороны многоугольника равна 2 см.

Периметр $P$ правильного $n$-угольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $P = n \cdot a$.

Подставим найденные значения $n=40$ и $a=2$ см:

$P = 40 \cdot 2 = 80$ см.

Ответ: 80 см.