Номер 5, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

5. Найдите периметр четырехугольника ABCD.

a) $B = 120^\circ$

$AB = 13$

$BC = 8$

трапеция

б) $CD : BC = 3 : 5$

$AB = 5$

$\angle A = 60^\circ$

$AD = 8$

в) $\angle B = 90^\circ$

$\angle D = 60^\circ$

$AD = 15$

$CD = 8$

а)

Периметр четырехугольника $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$.
По условию, четырехугольник $ABCD$ — трапеция, вписанная в окружность. Трапеция, вписанная в окружность, является равнобокой. Следовательно, ее боковые стороны равны: $AB = CD = 8$. Также равны углы при основаниях: $\angle DAB = \angle CDA$ и $\angle ABC = \angle BCD$.
Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$.
$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$.
$\angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Так как трапеция равнобокая, $\angle DAB = \angle CDA = 60^\circ$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. По теореме косинусов:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle ADC)$
Подставим известные значения: $AC = 13$, $CD = 8$, $\angle ADC = 60^\circ$.
$13^2 = AD^2 + 8^2 - 2 \cdot AD \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$
$169 = AD^2 + 64 - 16 \cdot AD \cdot \frac{1}{2}$
$169 = AD^2 + 64 - 8 \cdot AD$
$AD^2 - 8 \cdot AD - 105 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $AD$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4(1)(-105) = 64 + 420 = 484 = 22^2$.
$AD = \frac{8 \pm 22}{2}$. Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:
$AD = \frac{8 + 22}{2} = 15$.
Теперь найдем длину основания $BC$. Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции $HK = BC$, а отрезки $AH$ и $KD$ равны.
В прямоугольном треугольнике $\triangle CKD$ имеем:
$KD = CD \cdot \cos(\angle CDA) = 8 \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$.
$AH = KD = 4$.
Так как $AD = AH + HK + KD$, то $HK = AD - AH - KD$.
$HK = 15 - 4 - 4 = 7$.
Следовательно, $BC = HK = 7$.
Теперь можем найти периметр трапеции:
$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 8 + 7 + 8 + 15 = 38$.
Ответ: 38.

б)

Периметр четырехугольника $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$.
Дано: $AB = 5$, $AD = 8$, $\angle DAB = 60^\circ$. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. По теореме косинусов найдем диагональ $BD$:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)$
$BD^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$
$BD^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$
$BD = \sqrt{49} = 7$.
Так как четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.
$\angle BCD = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
По условию $CD:BC = 3:5$. Обозначим $CD = 3x$ и $BC = 5x$.
Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. По теореме косинусов:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$
$7^2 = (5x)^2 + (3x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot (3x) \cdot \cos(120^\circ)$
$49 = 25x^2 + 9x^2 - 30x^2 \cdot (-\frac{1}{2})$
$49 = 34x^2 + 15x^2$
$49 = 49x^2$
$x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$ (так как длина стороны должна быть положительной).
Тогда $BC = 5x = 5$ и $CD = 3x = 3$.
Найдем периметр четырехугольника:
$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 5 + 5 + 3 + 8 = 21$.
Ответ: 21.

в)

Периметр четырехугольника $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$.
По условию, в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность. Это означает, что для него выполняется свойство описанного четырехугольника (теорема Пи́то): суммы длин противоположных сторон равны.
$AB + CD = BC + AD$.
Подставим известные значения $CD=8$ и $AD=15$:
$AB + 8 = BC + 15$
$AB = BC + 7$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Мы знаем две стороны $AD = 15$, $CD = 8$ и угол между ними $\angle CDA = 60^\circ$. По теореме косинусов найдем диагональ $AC$:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle CDA)$
$AC^2 = 15^2 + 8^2 - 2 \cdot 15 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$
$AC^2 = 225 + 64 - 240 \cdot \frac{1}{2} = 289 - 120 = 169$
$AC = \sqrt{169} = 13$.
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию, угол $\angle ABC = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABC$ — прямоугольный. По теореме Пифагора:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$AB^2 + BC^2 = 13^2 = 169$.
Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $AB$ и $BC$:
1) $AB = BC + 7$
2) $AB^2 + BC^2 = 169$
Подставим выражение для $AB$ из первого уравнения во второе:
$(BC + 7)^2 + BC^2 = 169$
$BC^2 + 14BC + 49 + BC^2 = 169$
$2BC^2 + 14BC - 120 = 0$
$BC^2 + 7BC - 60 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни. Корни: $BC=5$ и $BC=-12$. Так как длина стороны не может быть отрицательной, $BC=5$.
Теперь найдем $AB$:
$AB = BC + 7 = 5 + 7 = 12$.
Мы нашли все стороны четырехугольника: $AB=12$, $BC=5$, $CD=8$, $AD=15$.
Периметр равен:
$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 12 + 5 + 8 + 15 = 40$.
Ответ: 40.