Номер 3, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

3. Найдите длину стороны $x$.

a) $5$, $8$, $x$, $60^\circ$

б) $8$, $x$, $7$, $120^\circ$

в) $\sqrt{8}$, $\sqrt{5}$, $x$, $45^\circ$

а) Для нахождения длины стороны x воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

В данном треугольнике известны две стороны, $a=5$ и $b=8$, и угол между ними $\gamma = 60°$. Неизвестная сторона — $x$.

Применяем формулу:

$x^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60°)$

Зная, что $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, подставляем значения:

$x^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$

$x^2 = 89 - 40$

$x^2 = 49$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, извлекаем квадратный корень:

$x = \sqrt{49} = 7$

Ответ: $7$

б) Аналогично предыдущей задаче, используем теорему косинусов. Нам даны две стороны, $a=8$ и $b=7$, и угол между ними $\gamma = 120°$. Нужно найти сторону $x$, лежащую напротив этого угла.

Применяем теорему косинусов:

$x^2 = 8^2 + 7^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cos(120°)$

Значение косинуса $120°$ равно $\cos(120°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2}$.

Подставляем значения в формулу:

$x^2 = 64 + 49 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot (-\frac{1}{2})$

$x^2 = 113 + 56$

$x^2 = 169$

Извлекаем квадратный корень:

$x = \sqrt{169} = 13$

Ответ: $13$

в) В этой задаче известны две стороны треугольника, $\sqrt{8}$ и $\sqrt{5}$, а также угол $45°$. Сторона $\sqrt{5}$ лежит напротив угла в $45°$, а сторона $x$ и сторона $\sqrt{8}$ являются сторонами, образующими этот угол. Для нахождения $x$ снова применим теорему косинусов.

Пусть стороны треугольника равны $a = \sqrt{5}$, $b = x$ и $c = \sqrt{8}$. Угол, противолежащий стороне $a$, равен $A = 45°$.

Формула теоремы косинусов для стороны $a$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$.

Подставим известные значения:

$(\sqrt{5})^2 = x^2 + (\sqrt{8})^2 - 2 \cdot x \cdot \sqrt{8} \cdot \cos(45°)$

Упростим выражение. Мы знаем, что $(\sqrt{5})^2 = 5$, $(\sqrt{8})^2 = 8$, $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, и $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$5 = x^2 + 8 - 2 \cdot x \cdot (2\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$5 = x^2 + 8 - 2x \cdot \frac{2\sqrt{2}\sqrt{2}}{2}$

$5 = x^2 + 8 - 2x \cdot 2$

$5 = x^2 + 8 - 4x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 4x + 8 - 5 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, разложив на множители. Найдем два числа, произведение которых равно 3, а сумма равна -4. Это числа -1 и -3.

$(x - 1)(x - 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных решения для $x$:

$x_1 = 1$

$x_2 = 3$

Оба решения являются положительными числами, и для обоих значений можно построить треугольник, удовлетворяющий условиям задачи. Таким образом, у задачи два правильных ответа.

Ответ: $1$ или $3$