Тест 1, страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 1

Длина отрезка $x$ равна:

а) $\sqrt{2}$; б) 1; в) $\sqrt{3}$; г) 2.

$x$, $105^\circ$, $\sqrt{2}$, $45^\circ$

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Эта теорема гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов.

1. Найдем третий угол треугольника. Сумма всех углов в треугольнике равна $180^\circ$. Нам известны два угла: $105^\circ$ и $45^\circ$. Найдем третий угол, назовем его $\gamma$, который лежит напротив стороны $\sqrt{2}$. Внимание: на чертеже угол $45^\circ$ лежит напротив стороны $\sqrt{2}$. А искомая сторона $x$ лежит напротив неизвестного третьего угла. Найдем этот третий угол, который обозначим $\alpha$.

$\alpha = 180^\circ - (105^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

Итак, мы имеем:

• Сторона $x$ лежит напротив угла $30^\circ$.
• Сторона $\sqrt{2}$ лежит напротив угла $45^\circ$.

2. Применим теорему синусов. Составим пропорцию согласно теореме синусов:

$\frac{x}{\sin(30^\circ)} = \frac{\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)}$

3. Найдем значение $x$. Выразим $x$ из уравнения:

$x = \frac{\sqrt{2} \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ)}$

Мы знаем табличные значения синусов:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в формулу для $x$:

$x = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$

Длина отрезка $x$ равна 1. Это соответствует варианту ответа б).

Ответ: б) 1.