Номер 243, страница 127 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

243. а) Стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Докажите, что медианы $m_a$ и $m_b$ треугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда $a^2 + b^2 = 5c^2$.

б) Докажите, что медианы $m_a$ и $m_b$ треугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда $m_c = \frac{3}{2}c$.

а) Докажем утверждение, что медианы $m_a$ и $m_b$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $a^2 + b^2 = 5c^2$.

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$. Медианы $AA'$ ($m_a$) и $BB'$ ($m_b$) пересекаются в точке $M$ (центроиде). Условие перпендикулярности медиан $m_a \perp m_b$ равносильно тому, что угол между ними в точке пересечения прямой, то есть $\angle AMB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AMB$. По свойству медиан, центроид делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, длины сторон треугольника $AMB$ составляют: $AM = \frac{2}{3}m_a$, $BM = \frac{2}{3}m_b$ и $AB = c$.

Для прямоугольного треугольника $AMB$ (с прямым углом при вершине $M$) по теореме Пифагора должно выполняться равенство:

$AM^2 + BM^2 = AB^2$

Подставим в это равенство выражения для длин сторон:

$(\frac{2}{3}m_a)^2 + (\frac{2}{3}m_b)^2 = c^2$

$\frac{4}{9}m_a^2 + \frac{4}{9}m_b^2 = c^2$

Умножим обе части уравнения на 9:

$4(m_a^2 + m_b^2) = 9c^2$

Теперь воспользуемся формулами для квадратов длин медиан, выраженными через квадраты длин сторон треугольника:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$

Подставим эти выражения в полученное уравнение:

$4\left(\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} + \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}\right) = 9c^2$

Сократим множитель 4:

$(2b^2 + 2c^2 - a^2) + (2a^2 + 2c^2 - b^2) = 9c^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые на левой стороне:

$(2a^2 - a^2) + (2b^2 - b^2) + (2c^2 + 2c^2) = 9c^2$

$a^2 + b^2 + 4c^2 = 9c^2$

Вычтем $4c^2$ из обеих частей равенства:

$a^2 + b^2 = 5c^2$

Так как все шаги представляют собой равносильные преобразования, мы доказали, что медианы $m_a$ и $m_b$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда выполняется равенство $a^2 + b^2 = 5c^2$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Докажем утверждение, что медианы $m_a$ и $m_b$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $m_c = \frac{3}{2}c$.

Пусть $M$ — точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$, а $C'$ — середина стороны $AB$. Длина стороны $AB$ равна $c$, а медиана, проведенная к ней из вершины $C$, равна $m_c=CC'$.

Как было показано в пункте а), перпендикулярность медиан $m_a$ и $m_b$ равносильна условию $\angle AMB = 90^\circ$.

В треугольнике $AMB$ отрезок $MC'$ является медианой, проведенной из вершины $M$ к стороне $AB$.

Известно свойство прямоугольного треугольника: медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Верно и обратное утверждение: если в треугольнике медиана, проведенная к одной из сторон, равна половине этой стороны, то угол, противолежащий этой стороне, равен $90^\circ$.

Следовательно, условие $\angle AMB = 90^\circ$ равносильно тому, что медиана $MC'$ треугольника $AMB$ равна половине стороны $AB$:

$MC' = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}c$

По свойству центроида, точка $M$ делит медиану $CC'$ в отношении 2:1, считая от вершины $C$. Это означает, что $CM = \frac{2}{3}m_c$ и $MC' = \frac{1}{3}m_c$.

Подставим выражение для $MC'$ в полученное ранее равенство:

$\frac{1}{3}m_c = \frac{1}{2}c$

Умножим обе части равенства на 3, чтобы выразить $m_c$:

$m_c = \frac{3}{2}c$

Все преобразования в данной цепочке рассуждений являются равносильными. Таким образом, мы установили, что условие перпендикулярности медиан $m_a$ и $m_b$ эквивалентно условию $m_c = \frac{3}{2}c$.

Ответ: Утверждение доказано.