Тест 3, страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 3

Найдите радиус $\mathit{r}$ вписанной окружности треугольника $\mathit{ABC}$, если его периметр равен 42 и $\mathit{AK} = 7$, $\mathit{KC} = 8$.

а) 1; б) 2; в) 3; г) 1,5.

Для решения задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности и формулой для ее радиуса. Сначала найдем длины сторон треугольника, затем его площадь, и после этого вычислим искомый радиус.

1. Нахождение сторон треугольника.

Согласно свойству касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности, отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

Из условия и этого свойства следует:

$AM = AK = 7$
$CN = KC = 8$
$BM = BN$ (обозначим эту длину как $x$)

Таким образом, стороны треугольника можно выразить через $x$:
$c = AB = AM + MB = 7 + x$
$a = BC = BN + NC = x + 8$
$b = AC = AK + KC = 7 + 8 = 15$

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин его сторон. По условию $P = 42$. Составим и решим уравнение:

$P = AB + BC + AC = (7 + x) + (x + 8) + 15 = 42$

$2x + 30 = 42$

$2x = 42 - 30$

$2x = 12$

$x = 6$

Теперь, зная $x$, находим точные длины всех сторон:
$a = BC = 6 + 8 = 14$
$b = AC = 15$
$c = AB = 7 + 6 = 13$

2. Нахождение площади треугольника.

Для вычисления площади $S$ воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр. Полупериметр равен половине периметра: $p = \frac{P}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

Подставляем значения в формулу:

$S = \sqrt{21(21-14)(21-15)(21-13)}$

$S = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8}$

$S = \sqrt{7056} = 84$

Итак, площадь треугольника составляет 84.

3. Нахождение радиуса вписанной окружности.

Площадь треугольника также можно найти по формуле $S = p \cdot r$, где $r$ — радиус вписанной окружности. Выразим отсюда радиус:

$r = \frac{S}{p}$

Подставим известные нам значения площади и полупериметра:

$r = \frac{84}{21} = 4$

Вычисленный радиус равен 4. Этот результат отсутствует среди предложенных вариантов ($1; 2; 3; 1,5$), что указывает на возможную ошибку в условии задачи или в вариантах ответов. Приведенное решение является математически верным для данных в условии задачи.

Ответ: 4.