Номер 242, страница 127 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

242. Стороны параллелограмма равны $a$, $b$, диагонали — $d_1$ и $d_2$. Докажите, что $a^4 + b^4 = d_1^2 d_2^2$ тогда и только тогда, когда угол параллелограмма равен $45^\circ$.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а угол между ними равен $\alpha$. Диагонали параллелограмма, $d_1$ и $d_2$, можно выразить через стороны и угол между ними с помощью теоремы косинусов.

Применяя теорему косинусов к двум треугольникам, на которые диагонали делят параллелограмм, получаем выражения для квадратов длин диагоналей:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha) = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$

Для доказательства утверждения "тогда и только тогда", мы должны показать, что равенство $a^4 + b^4 = d_1^2 d_2^2$ эквивалентно тому, что один из углов параллелограмма равен $45^\circ$. Рассмотрим произведение квадратов диагоналей $d_1^2 d_2^2$:

$d_1^2 d_2^2 = (a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha))(a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha))$

Это выражение является разностью квадратов, $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x = a^2 + b^2$ и $y = 2ab \cos(\alpha)$:

$d_1^2 d_2^2 = (a^2 + b^2)^2 - (2ab \cos(\alpha))^2$

$d_1^2 d_2^2 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - 4a^2b^2 \cos^2(\alpha)$

$d_1^2 d_2^2 = a^4 + b^4 + 2a^2b^2(1 - 2\cos^2(\alpha))$

Теперь мы можем установить эквивалентность. Равенство $a^4 + b^4 = d_1^2 d_2^2$ выполняется тогда и только тогда, когда:

$a^4 + b^4 = a^4 + b^4 + 2a^2b^2(1 - 2\cos^2(\alpha))$

Вычитая $a^4 + b^4$ из обеих частей, получаем:

$0 = 2a^2b^2(1 - 2\cos^2(\alpha))$

Поскольку $a$ и $b$ - это длины сторон параллелограмма, они являются положительными числами ($a > 0$, $b > 0$). Следовательно, множитель $2a^2b^2$ не равен нулю. Таким образом, равенство истинно только в том случае, если другой множитель равен нулю:

$1 - 2\cos^2(\alpha) = 0$

$2\cos^2(\alpha) = 1$

$\cos^2(\alpha) = \frac{1}{2}$

$\cos(\alpha) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Углы параллелограмма $\alpha$ лежат в интервале $(0, 180^\circ)$.

Возможные значения $\alpha$:

• Если $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\alpha = 45^\circ$.
• Если $\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\alpha = 135^\circ$.

Если один из углов параллелограмма равен $45^\circ$, то смежный с ним угол равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Если один из углов равен $135^\circ$, то смежный с ним равен $45^\circ$. В обоих случаях у параллелограмма есть угол, равный $45^\circ$.

Таким образом, мы доказали, что равенство $a^4 + b^4 = d_1^2 d_2^2$ является необходимым и достаточным условием того, что один из углов параллелограмма равен $45^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано.