Номер 238, страница 127 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

238. При помощи теоремы Стюарта выведите формулу для медианы $m_a$ треугольника со сторонами $a, b$ и $c$: $m_a^2 = \frac{1}{4}(2b^2 + 2c^2 - a^2)$.

Для того чтобы вывести формулу для медианы $m_a$ треугольника, мы воспользуемся теоремой Стюарта.

Теорема Стюарта устанавливает связь между длинами сторон треугольника и длиной чевианы (отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой на противоположной стороне). Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и чевианы длиной $d$, проведенной к стороне $a$ и делящей ее на отрезки $m$ и $n$ (где $a = m + n$), теорема записывается следующим образом:

$b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)$

В нашем случае мы рассматриваем медиану $m_a$, проведенную к стороне $a$. Медиана является частным случаем чевианы.

Для медианы $m_a$ выполняются следующие условия:

1. Длина чевианы равна длине медианы: $d = m_a$.

2. Медиана по определению делит противолежащую сторону пополам. Следовательно, точка, в которой медиана пересекает сторону $a$, является ее серединой. Это означает, что отрезки $m$ и $n$ равны: $m = n = \frac{a}{2}$.

Теперь подставим эти значения в общую формулу теоремы Стюарта:

$b^2\left(\frac{a}{2}\right) + c^2\left(\frac{a}{2}\right) = a\left(m_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)\left(\frac{a}{2}\right)\right)$

Упростим полученное выражение. В левой части вынесем общий множитель $\frac{a}{2}$ за скобки:

$\frac{a}{2}(b^2 + c^2) = a\left(m_a^2 + \frac{a^2}{4}\right)$

Так как $a$ является длиной стороны треугольника, то $a \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$\frac{1}{2}(b^2 + c^2) = m_a^2 + \frac{a^2}{4}$

Теперь выразим $m_a^2$ из этого уравнения, перенеся $\frac{a^2}{4}$ в левую часть:

$m_a^2 = \frac{1}{2}(b^2 + c^2) - \frac{a^2}{4}$

Чтобы получить окончательный вид формулы, приведем правую часть к общему знаменателю 4:

$m_a^2 = \frac{2(b^2 + c^2)}{4} - \frac{a^2}{4}$

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

Это выражение можно записать в виде, указанном в задании:

$m_a^2 = \frac{1}{4}(2b^2 + 2c^2 - a^2)$

Таким образом, искомая формула для квадрата медианы выведена.

Ответ: Применив теорему Стюарта $b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)$ для случая медианы $m_a$, где $d=m_a$ и $m=n=\frac{a}{2}$, и выполнив алгебраические преобразования, мы получаем формулу для квадрата длины медианы: $m_a^2 = \frac{1}{4}(2b^2 + 2c^2 - a^2)$.