Номер 232, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

232. Центр $O$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$, соединен с его вершинами отрезками. Площади треугольников, на которые разбивается треугольник $ABC$, равны $7 \text{ см}^2$, $15 \text{ см}^2$, $20 \text{ см}^2$. Найдите стороны треугольника.

Пусть $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности, а $r$ — радиус этой окружности. Отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ соединяют центр с вершинами и разбивают треугольник $ABC$ на три треугольника: $AOB$, $BOC$ и $AOC$. Высота каждого из этих треугольников, проведенная из вершины $O$ к стороне треугольника $ABC$, равна радиусу вписанной окружности $r$.

Обозначим стороны треугольника $ABC$ как $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Площади трех малых треугольников выражаются через стороны треугольника $ABC$ и радиус $r$ следующим образом:
$S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r$
$S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r$
$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r$

Из этих формул видно, что стороны треугольника пропорциональны площадям соответствующих малых треугольников. По условию, площади равны 7 см², 15 см² и 20 см². Распределим их, например, так:
$S_{AOB} = 7 \text{ см}^2$
$S_{AOC} = 15 \text{ см}^2$
$S_{BOC} = 20 \text{ см}^2$

Тогда для сторон треугольника можно записать:
$c = \frac{2 S_{AOB}}{r} = \frac{14}{r}$
$b = \frac{2 S_{AOC}}{r} = \frac{30}{r}$
$a = \frac{2 S_{BOC}}{r} = \frac{40}{r}$

Общая площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей этих трех треугольников:
$S = S_{AOB} + S_{AOC} + S_{BOC} = 7 + 15 + 20 = 42$ см².

Для нахождения сторон воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр, $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Выразим полупериметр $p$ через $r$:
$p = \frac{1}{2} \left(\frac{40}{r} + \frac{30}{r} + \frac{14}{r}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{84}{r} = \frac{42}{r}$.

Теперь найдем разности, входящие в формулу Герона:
$p-a = \frac{42}{r} - \frac{40}{r} = \frac{2}{r}$
$p-b = \frac{42}{r} - \frac{30}{r} = \frac{12}{r}$
$p-c = \frac{42}{r} - \frac{14}{r} = \frac{28}{r}$

Подставим полученные выражения и значение площади $S=42$ в формулу Герона, возведенную в квадрат:
$S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)$
$42^2 = \frac{42}{r} \cdot \frac{2}{r} \cdot \frac{12}{r} \cdot \frac{28}{r}$
$42^2 = \frac{42 \cdot 2 \cdot 12 \cdot 28}{r^4}$
Выразим $r^4$:
$r^4 = \frac{42 \cdot 2 \cdot 12 \cdot 28}{42^2} = \frac{2 \cdot 12 \cdot 28}{42} = \frac{672}{42} = 16$
Поскольку радиус $r$ — положительная величина, $r = \sqrt[4]{16} = 2$ см.

Теперь, зная радиус $r=2$, мы можем вычислить длины сторон треугольника:
$a = \frac{40}{r} = \frac{40}{2} = 20$ см
$b = \frac{30}{r} = \frac{30}{2} = 15$ см
$c = \frac{14}{r} = \frac{14}{2} = 7$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 7 см, 15 см и 20 см.