Номер 231, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

231. Найдите радиус окружности, касающейся сторон треугольника, равных 13 и 15, центр которой лежит на третьей стороне, равной 14.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 13$, $BC = 15$ и $AC = 14$.

Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$ касается сторон $AB$ и $BC$. По условию, центр $O$ лежит на стороне $AC$.

Так как центр окружности, касающейся сторон угла, равноудален от этих сторон, точка $O$ равноудалена от прямых $AB$ и $BC$. Расстояние от центра $O$ до сторон $AB$ и $BC$ равно радиусу $r$. Это означает, что точка $O$ лежит на биссектрисе угла $B$.

Таким образом, отрезок $BO$ является биссектрисой угла $B$ треугольника $ABC$.

Рассмотрим площадь треугольника $ABC$. Её можно представить как сумму площадей треугольников $ABO$ и $CBO$.

$S_{ABC} = S_{ABO} + S_{CBO}$

Радиус $r$ является высотой треугольника $ABO$, проведенной к стороне $AB$, и высотой треугольника $CBO$, проведенной к стороне $BC$.

Площадь треугольника $ABO$ равна $S_{ABO} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot r$.

Площадь треугольника $CBO$ равна $S_{CBO} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot r$.

Следовательно, $S_{ABC} = \frac{13}{2}r + \frac{15}{2}r = \frac{28}{2}r = 14r$.

Теперь найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона, зная все три стороны.

Полупериметр $p$ равен:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 15 + 14}{2} = \frac{42}{2} = 21$

Площадь $S_{ABC}$ равна:

$S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{21(21-13)(21-15)(21-14)}$

$S_{ABC} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 7} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 4) \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 4 \cdot 4} = \sqrt{(3 \cdot 7 \cdot 4)^2} = 3 \cdot 7 \cdot 4 = 84$

Приравняем два выражения для площади треугольника $ABC$:

$14r = 84$

$r = \frac{84}{14} = 6$

Ответ: 6.