Номер 226, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

226. а) Найдите площадь трапеции, у которой основания равны 5 см и 15 см, а боковые стороны — 9 см и 17 см.

б) Найдите площадь трапеции, у которой основания равны 3 см и 12 см, а диагонали — 13 см и 14 см.

а)

Для нахождения площади трапеции необходимо знать ее основания и высоту. Площадь вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

В нашем случае даны основания $a = 15$ см, $b = 5$ см и боковые стороны $c = 9$ см, $d = 17$ см. Высота $h$ неизвестна.

Чтобы найти высоту, воспользуемся дополнительным построением. Пусть у нас есть трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD = 15$ см и $BC = 5$ см. Пусть боковые стороны $AB = 9$ см и $CD = 17$ см. Проведем из вершины $B$ прямую $BE$, параллельную стороне $CD$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$.

В результате получим параллелограмм $BCDE$. У него $BC = ED = 5$ см, а $BE = CD = 17$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABE$. Его стороны:

• $AB = 9$ см (по условию).
• $BE = 17$ см (по построению).
• $AE = AD - ED = 15 - 5 = 10$ см.

Высота трапеции $h$ совпадает с высотой треугольника $ABE$, проведенной к стороне $AE$.

Найдем площадь треугольника $ABE$ по формуле Герона, зная три его стороны.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{AB + BE + AE}{2} = \frac{9 + 17 + 10}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Теперь найдем площадь $S_{\triangle ABE}$:

$S_{\triangle ABE} = \sqrt{p(p-AB)(p-BE)(p-AE)} = \sqrt{18(18-9)(18-17)(18-10)}$

$S_{\triangle ABE} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 8} = \sqrt{1296} = 36$ см².

С другой стороны, площадь треугольника можно найти как половину произведения основания на высоту: $S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h$.

Подставим известные значения:

$36 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$

$36 = 5h$

$h = \frac{36}{5} = 7,2$ см.

Теперь, зная высоту, можем найти площадь трапеции:

$S_{ABCD} = \frac{AD+BC}{2}h = \frac{15+5}{2} \cdot 7,2 = \frac{20}{2} \cdot 7,2 = 10 \cdot 7,2 = 72$ см².

Ответ: 72 см²

б)

Дана трапеция с основаниями $a = 12$ см и $b = 3$ см, и диагоналями $d_1 = 13$ см и $d_2 = 14$ см.

Для нахождения площади воспользуемся методом, который сводит задачу к нахождению площади треугольника.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=12$ см и $BC=3$ см. Диагонали $AC=13$ см и $BD=14$ см.

Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до ее пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$.

Полученный четырехугольник $BCED$ является параллелограммом, так как $BC$ параллельна $DE$ (как части прямой $AE$) и $CE$ параллельна $BD$ (по построению).

Следовательно, $DE = BC = 3$ см и $CE = BD = 14$ см.

Площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $ACE$. Докажем это.

Площадь трапеции $S_{ABCD} = \frac{AD+BC}{2}h$.

Площадь треугольника $S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2}AE \cdot h$.

Основание треугольника $AE = AD + DE = AD + BC = 12 + 3 = 15$ см.

Тогда $S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2}(AD+BC)h$.

Таким образом, $S_{ABCD} = S_{\triangle ACE}$.

Задача свелась к нахождению площади треугольника $ACE$, стороны которого нам известны:

• $AC = 13$ см (по условию).
• $CE = 14$ см (по построению).
• $AE = 15$ см (как сумма $AD+DE$).

Найдем площадь треугольника $ACE$ по формуле Герона.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{AC + CE + AE}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь найдем площадь $S_{\triangle ACE}$:

$S_{\triangle ACE} = \sqrt{p(p-AC)(p-CE)(p-AE)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$

$S_{\triangle ACE} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 4) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 4^2} = 3 \cdot 7 \cdot 4 = 84$ см².

Поскольку площадь трапеции равна площади этого треугольника, то $S_{ABCD} = 84$ см².

Ответ: 84 см²