Номер 224, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

224. а) Найдите площадь параллелограмма, одна сторона которого равна 15 см, а диагонали — 8 см и 26 см.

б) Найдите площадь параллелограмма, две стороны которого равны 9 см и 10 см, а одна из диагоналей — 17 см.

а)

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ со стороной $AB = 15$ см и диагоналями $AC = 26$ см и $BD = 8$ см. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам.

Таким образом, мы получаем отрезки:

$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

$BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Площади всех этих четырех треугольников равны. Это следует из того, что у соседних треугольников, например $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$, равные основания ($AO = OC$) и общая высота, проведенная из вершины $B$. Следовательно, их площади равны. Аналогично доказывается равенство площадей для других пар, из чего следует, что $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle BOC} = S_{\triangle COD} = S_{\triangle DOA}$.

Значит, площадь параллелограмма $S_{ABCD}$ в четыре раза больше площади одного из этих треугольников, например, $\triangle AOB$.

$S_{ABCD} = 4 \cdot S_{\triangle AOB}$.

Стороны треугольника $\triangle AOB$ нам известны: $AB=15$ см, $AO=13$ см, $BO=4$ см. Найдем его площадь по формуле Герона:

$S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Вычислим полупериметр $p$ треугольника $\triangle AOB$:

$p = \frac{15 + 13 + 4}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:

$S_{\triangle AOB} = \sqrt{16(16-15)(16-13)(16-4)} = \sqrt{16 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 12} = \sqrt{16 \cdot 36} = 4 \cdot 6 = 24$ см².

Площадь параллелограмма равна:

$S_{ABCD} = 4 \cdot S_{\triangle AOB} = 4 \cdot 24 = 96$ см².

Ответ: 96 см².

б)

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 9$ см и $b = 10$ см, а одна из диагоналей $d = 17$ см.

Диагональ делит параллелограмм на два равных (конгруэнтных) треугольника. Стороны каждого такого треугольника равны сторонам параллелограмма и его диагонали, то есть 9 см, 10 см и 17 см.

Площадь параллелограмма равна удвоенной площади одного из этих треугольников. Найдем площадь треугольника со сторонами 9 см, 10 см и 17 см по формуле Герона:

$S_{\triangle} = \sqrt{p(p-s_1)(p-s_2)(p-s_3)}$, где $p$ — полупериметр, а $s_1, s_2, s_3$ — стороны треугольника.

Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{9 + 10 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:

$S_{\triangle} = \sqrt{18(18-9)(18-10)(18-17)} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1} = \sqrt{(2 \cdot 9) \cdot 9 \cdot (2 \cdot 4)} = \sqrt{4 \cdot 81 \cdot 4} = \sqrt{16 \cdot 81} = 4 \cdot 9 = 36$ см².

Площадь параллелограмма $S$ равна удвоенной площади этого треугольника:

$S = 2 \cdot S_{\triangle} = 2 \cdot 36 = 72$ см².

Ответ: 72 см².