Номер 229, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

229. Медианы, проведенные к двум сторонам треугольника, равны 12 см и 9 см, третья сторона треугольника равна 6 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим его стороны как $a, b, c$. Медианы, проведенные к сторонам $a$ и $b$, обозначим как $m_a$ и $m_b$. Согласно условию, $m_a = 12$ см, $m_b = 9$ см, а третья сторона $c = 6$ см. Медианы $m_a$ и $m_b$ проведены из вершин $A$ и $B$ соответственно, а сторона $c$ — это сторона $AB$.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке $O$ (центроиде), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Найдем длины отрезков медиан от вершин до точки пересечения:

$AO = \frac{2}{3}m_a = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.

$BO = \frac{2}{3}m_b = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Его стороны равны $AO=8$ см, $BO=6$ см, и $AB=c=6$ см. Мы можем найти площадь этого треугольника ($S_{AOB}$), используя формулу Герона. Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{AO + BO + AB}{2} = \frac{8 + 6 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Теперь применим формулу Герона для площади $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$:

$S_{AOB} = \sqrt{10(10-8)(10-6)(10-6)} = \sqrt{10 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4} = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}$ см$^2$.

Известно, что три медианы делят исходный треугольник на шесть меньших треугольников равной площади. Треугольник $AOB$ состоит из двух таких треугольников, поэтому его площадь составляет $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ от площади всего треугольника $ABC$. То есть, $S_{ABC} = 3 \cdot S_{AOB}$.

Вычислим итоговую площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = 3 \cdot S_{AOB} = 3 \cdot 8\sqrt{5} = 24\sqrt{5}$ см$^2$.

Ответ: $24\sqrt{5}$ см$^2$.