Номер 225, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

225. а) Найдите наибольшую высоту треугольника со сторонами 20 см, 13 см, 11 см.

б) Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 40 см, 37 см, 13 см.

а)

Площадь треугольника $S$ можно выразить через его сторону $a$ и высоту $h_a$, проведенную к этой стороне, по формуле $S = \frac{1}{2} a h_a$. Отсюда высота $h_a = \frac{2S}{a}$. Это означает, что при постоянной площади высота обратно пропорциональна стороне, к которой она проведена. Следовательно, наибольшая высота треугольника проведена к его наименьшей стороне.

В данном треугольнике стороны равны 20 см, 13 см, 11 см. Наименьшая сторона равна 11 см.

Для нахождения высоты сначала вычислим площадь треугольника по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ - полупериметр.

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{20+13+11}{2} = \frac{44}{2} = 22$ см.

Теперь вычислим площадь $S$:

$S = \sqrt{22(22-20)(22-13)(22-11)} = \sqrt{22 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 11} = \sqrt{(2 \cdot 11) \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 11} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2} = 2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$ см$^2$.

Наибольшая высота $h_{\text{max}}$ проведена к наименьшей стороне (11 см). Найдем ее:

$h_{\text{max}} = \frac{2S}{11} = \frac{2 \cdot 66}{11} = \frac{132}{11} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

б)

Аналогично пункту а), высота обратно пропорциональна стороне, к которой она проведена. Следовательно, наименьшая высота треугольника проведена к его наибольшей стороне.

В данном треугольнике стороны равны 40 см, 37 см, 13 см. Наибольшая сторона равна 40 см.

Вычислим площадь треугольника по формуле Герона. Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{40+37+13}{2} = \frac{90}{2} = 45$ см.

Теперь вычислим площадь $S$:

$S = \sqrt{45(45-40)(45-37)(45-13)} = \sqrt{45 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 32}$.

Разложим подкоренное выражение на простые множители для удобства вычисления:

$S = \sqrt{(3^2 \cdot 5) \cdot 5 \cdot 2^3 \cdot 2^5} = \sqrt{3^2 \cdot 5^2 \cdot 2^8} = \sqrt{3^2 \cdot 5^2 \cdot (2^4)^2} = 3 \cdot 5 \cdot 2^4 = 15 \cdot 16 = 240$ см$^2$.

Наименьшая высота $h_{\text{min}}$ проведена к наибольшей стороне (40 см). Найдем ее:

$h_{\text{min}} = \frac{2S}{40} = \frac{2 \cdot 240}{40} = \frac{480}{40} = 12$ см.

Ответ: 12 см.