Номер 221, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

221. Докажите, что площадь параллелограмма (не являющегося прямоугольником) можно вычислить по формуле $S = \frac{d_2^2 - d_1^2}{4} \operatorname{tg}\alpha$, где $d_1$, $d_2$ — диагонали ($d_2 > d_1$), $\alpha$ — острый угол параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а $\alpha$ — острый угол между ними. Стандартная формула для площади параллелограмма $S$ имеет вид $S = ab \sin(\alpha)$. Диагонали параллелограмма, $d_1$ и $d_2$ ($d_2 > d_1$), можно выразить через стороны и углы с помощью теоремы косинусов. Меньшая диагональ $d_1$ лежит напротив острого угла $\alpha$, а большая диагональ $d_2$ — напротив тупого угла $180^\circ - \alpha$.

Применим теорему косинусов для треугольников, образованных сторонами $a$, $b$ и соответствующими диагоналями.

Для треугольника с диагональю $d_1$:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

Для треугольника с диагональю $d_2$:

$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha)$

Используя тригонометрическое тождество $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:

$d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$

Теперь найдем разность квадратов диагоналей:

$d_2^2 - d_1^2 = (a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)) - (a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha))$

$d_2^2 - d_1^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha) - a^2 - b^2 + 2ab \cos(\alpha)$

$d_2^2 - d_1^2 = 4ab \cos(\alpha)$

Рассмотрим правую часть формулы, которую требуется доказать, и подставим в нее полученное выражение для $d_2^2 - d_1^2$:

$\frac{d_2^2 - d_1^2}{4} \tan(\alpha) = \frac{4ab \cos(\alpha)}{4} \tan(\alpha) = ab \cos(\alpha) \tan(\alpha)$

Используем определение тангенса $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ для дальнейшего упрощения:

$ab \cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Согласно условию, параллелограмм не является прямоугольником, что означает, что его углы не равны $90^\circ$. Следовательно, $\alpha \neq 90^\circ$ и $\cos(\alpha) \neq 0$. Это позволяет нам сократить дробь на $\cos(\alpha)$:

$ab \sin(\alpha)$

Полученное выражение $ab \sin(\alpha)$ является формулой для площади параллелограмма $S$. Таким образом, мы показали, что $S = \frac{d_2^2 - d_1^2}{4} \tan(\alpha)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.