Номер 218, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

218. В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 2 и 3, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите диагонали четырехугольника.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Обозначим середины его сторон: $K$ — середина $AB$, $L$ — середина $BC$, $M$ — середина $CD$, и $N$ — середина $DA$.

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, — это $KM$ и $LN$. По условию задачи, их длины равны $2$ и $3$, а угол между ними составляет $60^\circ$. Пусть $KM=2$ и $LN=3$.

Согласно теореме Вариньона, четырехугольник $KLMN$, образованный соединением середин сторон исходного четырехугольника, является параллелограммом. Отрезки $KM$ и $LN$ являются диагоналями этого параллелограмма.

Стороны параллелограмма Вариньона связаны с диагоналями исходного четырехугольника $ABCD$:

• $KL$ является средней линией треугольника $ABC$, поэтому $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.
• $LM$ является средней линией треугольника $BCD$, поэтому $LM \parallel BD$ и $LM = \frac{1}{2}BD$.

Таким образом, чтобы найти диагонали $AC$ и $BD$, нам нужно найти стороны параллелограмма $KLMN$.

Решение

Рассмотрим параллелограмм $KLMN$. Его диагонали $d_1 = KM = 2$ и $d_2 = LN = 3$ пересекаются под углом $\alpha = 60^\circ$. Пусть точка пересечения диагоналей — $O$.

Диагонали в точке пересечения делятся пополам, следовательно:

$KO = OM = \frac{KM}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$LO = ON = \frac{LN}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

Рассмотрим треугольник $KOL$. В нем известны две стороны ($KO=1$, $LO=1.5$) и угол между ними $\angle KOL = 60^\circ$. По теореме косинусов найдем сторону $KL$:

$KL^2 = KO^2 + LO^2 - 2 \cdot KO \cdot LO \cdot \cos(\angle KOL)$

$KL^2 = 1^2 + (1.5)^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1.5 \cdot \cos(60^\circ)$

$KL^2 = 1 + 2.25 - 3 \cdot \frac{1}{2} = 3.25 - 1.5 = 1.75$

Теперь рассмотрим треугольник $LOM$. Угол $\angle LOM$ является смежным с углом $\angle KOL$, поэтому $\angle LOM = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. По теореме косинусов найдем сторону $LM$:

$LM^2 = LO^2 + OM^2 - 2 \cdot LO \cdot OM \cdot \cos(\angle LOM)$

$LM^2 = (1.5)^2 + 1^2 - 2 \cdot 1.5 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

$LM^2 = 2.25 + 1 - 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3.25 + 1.5 = 4.75$

Мы нашли квадраты длин сторон параллелограмма Вариньона. Теперь можем найти длины диагоналей исходного четырехугольника $ABCD$.

Длина диагонали $AC$:

$AC = 2 \cdot KL \Rightarrow AC^2 = 4 \cdot KL^2 = 4 \cdot 1.75 = 7$.

$AC = \sqrt{7}$

Длина диагонали $BD$:

$BD = 2 \cdot LM \Rightarrow BD^2 = 4 \cdot LM^2 = 4 \cdot 4.75 = 19$.

$BD = \sqrt{19}$

Заметим, что если бы мы приняли угол между диагоналями равным $120^\circ$, то значения $KL^2$ и $LM^2$ поменялись бы местами, но конечный набор длин диагоналей $AC$ и $BD$ остался бы тем же.

Ответ: $\sqrt{7}$ и $\sqrt{19}$.